• 締切済み

代数系に関する問題

非負整数全体の集合Nのべき集合をP(N)と表し、集合の共通部分を求める演算を∩と表す。次の２つの性質が成立するので、代数系( P(N), ∩ )はモノイドである。 性質１：　演算∩が結合律を満たす。つまり、 　　　　　∀A,B,C ∈ P(N) ( (1) )。 性質２：　演算∩に関する(2)が存在する。つまり、 　　　　　∃A ∈ P(N) ∀B ∈ P(N) ( A∩B=B ∧ B∩A=B )。 問１　上の文章の空欄(1)に入る式と空欄(2)に入る語句を答えよ。 問２　性質２を証明せよ。 問３　空欄(2)の元が唯一であることを、上記のモノイドの定義に基づいて証明せよ。 問４　P(N)上の演算∩に関する逆元の定義を述べよ。 問５　P(N)の要素のうち、演算∩に関する逆元が存在するものを全て求めよ。求めた要素に逆元が存在する理由と、それ以外の要素に逆元が存在しない理由も述べること。 という問題があります。 問１は(1):(A∩B)∩C = A∩(B∩C) 　　　　(2):単位元 となるのは分かるのですが、問２以降が全然分かりません。 どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか？

みんなの回答

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.2

問4,5は、「逆元」という語を知っているかどうか…かな。 A∩X=X∩A=単位元 となる X を A の逆元という訳だけれど、 ∩は可換だし、先の小問で単位元は N だから、 A∩X=N だけでよい。 A, X が何であれ、A∩X⊆A, A∩X⊆X が成り立つから、 N⊆A, N⊆X でなくてはならない。 そのような A, X は、P(N) の中に A=X=N しかない。 A=X=N であれば、A∩X=N∩N=N が成り立つ。 つまり、逆元が存在する元は N だけで、 その逆元は N。

回答No.1

N∩B=B ∧ B∩N=B だから単位元は存在する。 N'∩B=B ∧ B∩N'=B となるN'が存在したとすればN∩B=B のＢにN' を代入して 　N∩N'=N' また B∩N'=B のＢにN を代入して 　N∩N'=N よって 　 N = N∩N' = N' 以下略

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