”ならば”について

質問

数学というより日本語の質問に近いのですが、
「x^2-4x＋a≦0を満たす全てのxがx＜3を満たすのはaがどんな範囲のときか」という問題で、解答はx^2-4x＋a≦0⇒x＜3の対偶をとる形で答えていました。

○⇒×という命題があるということは、これは「×の集合が○の集合を丸々含む（×の方がでかい）」ということを意味したと思うのですが、とすると、この問題をみれば、真正面からとりかかった場合、
「x＜3⇒x^2-4x＋a≦0」を考えることになるのではないでしょうか。
つまり、問題文においてx＜3よりx^2-4x＋a≦0を満たすxの方がでかいのではないでしょうか。

ずっと考えていたのですが、考えるうちにまたややこしくなってきました。解説お願いします。

回答No.4

arrysthmia

包含関係が、逆です。

ベン図にドーナツの絵を描いて、
どちらの集合に属していれば
もう一方の集合にも属していると
言えるのか、確認しましょう。

イメージ的には、

大きい集合
⇔ 要素数が多い
⇔ 要素となるための条件がユルい

小さい集合
⇔ 条件がキビシい

…です。

キビシいほうの条件を満たしていれば、
ユルいほうの条件は満たしていそうな
気がしますね？

回答No.3

Sinogi

「x＜3⇒x^2-4x＋a≦0」は　「x^2-4x＋a≦0⇒x＜3」の対偶ではありません。逆命題です。なので両命題に真偽関係はありません。

また
x^2-4x＋a≦0を満たす全てのx　
は　a　のとりかたで範囲が変わるので
x＜3
と比較できるものではありません。

だから
「x^2-4x＋a≦0を満たす全てのxがx＜3を満たすのはaがどんな範囲のときか」という問題
が成立するんですね。

回答No.2

KitCut-100

こんばんは、対偶の考え方を整理するとよろしいかと思います。
命題の式
A⇒B -----(1)
の対偶は
￢B⇒￢A ----(2)

(1)と(2)は同じ命題です。ここでコツですが、命題をAやBまたは数式で考えるのではなく、日本語で考えるとわかりやすいです。
例えば
「東京に住んでいる」⇒「日本に住んでいる」
「日本に住んでいない」⇒「東京に住んでいない」
これだとスーと頭にはいると思います。集合（面積）で考えれば
日本が東京を含んでいます。 集合の包含関係と⇒の関係は同じです。

さて 逆 B⇒A （３） はもとの命題式と違います。
先ほどの例では
「日本に住んでいる」⇒「東京に住んでいる」
これは間違いです。
元来の命題式とその対偶は同じことを表していますが、逆は全く別のことを
表しています。
東京と日本の例のような形で’日本語’で元の命題式と対偶の両方をご自分で
作ってみて 対偶と逆 をしっかりと頭に入れることをお勧めいたします。

回答No.1

Quattro99

x＜3のときx^2-4x＋a≦0であることを示したとしても、x≧3の時もx^2-4x＋a≦0を満たすかも知れません。従って、x^2-4x＋a≦0を満たす全てのxがx＜3を満たすことを示せていません。

> 問題文においてx＜3よりx^2-4x＋a≦0を満たすxの方がでかいのではないでしょうか。
ちょっと日本語が変な気がしますが、x^2-4x＋a≦0を満たす3以上のxが存在したら、x^2-4x＋a≦0を満たす全てのxがx＜3を満たすことになりません。