ラプラス変換で微分方程式の一般解を求めるには限界がある？
- ラプラス変換を使って微分方程式の一般解を求める方法には限界があります。
- 具体的には、与えられた微分方程式に対してラプラス変換を適用し、像関数を求めることで一般解を得ることができます。
- しかし、一部の微分方程式については、解法が複雑になることや、ラプラス変換が使用できない場合があります。
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ラプラス変換で微分方程式の一般解を求めるには限界がある？
ラプラス変換を覚えて、微分方程式を簡単に解いてしまおうと思い勉強していたのですが、 y' = (1+x)y という問題において、 y(0) = a , L[y(t)] = Y(s) , L[y'(t)] = sY(s) - y(0) とし、与式の両辺のラプラス変換を取って sY(s) - a = Y(s) - Y'(s) <-像関数の微分法則より となると思います。このY'(s)の処理の仕方が分かりません。 答えは y = Cexp(x+x^2/2) (Cは定数) らしいのですが、これはラプラス変換では難しいのでしょうか。 (s-1)Y(s)が出てくるのでexp(x)は納得できるのですが、何故xを積分したと思われる値がexp()内に出るのか分かりません。
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変数分離形なので y で割って積分するだけで解が求まりますが， あえてラプラス変換で解きたい，という話だと思います． しかし，残念ながら，単純にラプラス変換するだけでは無理です． y'(x) = (1+x) y(x) Y'(s) = (1-s) Y(s) - a ということで x の領域と s の領域で方程式が本質的に変わっていません． （これは exp(x^2) 系の関数の持つ重要な特徴の１つです） 一応，表と裏を連立で解く，みたいなことをすると解けますが， 労力の割りに報われない方法だと思います． ラプラス変換は，基本的には定数係数非斉次微分方程式に対して 効力を発揮するもので，それ以外に対しては適用できたらラッキーです． というよりも，そもそも微分方程式自体が「解けたらラッキー」なので， １つの方法で全部解決しようとするのは無理があるかと思います．
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