素因数分解の一意性？

質問

素因数分解の一意性という定義はなぜ必要となるのでしょうか？

それと虚数を入れると素因数分解の一意性は守られないと思うのですが、これは良いのでしょうか？

なぜ一意性が必要なのかが分かりません。
どなたか教えて下さい。

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

数論は、整数を扱うのですが、そこで言う「整数」とは、
「ガウス整数」や「代数的整数」などの場合もあり、
普通の整数「有理整数」だけとは限りません。
素因数分解の一意性は、有理整数の重要な性質（定理）
であり、有理整数に関する様々な定理が、これを使って
証明されます。

複素数が入った「整数」でも、「ガウス整数」ならば、
有理整数と同様、素因数分解は一意的です。
一意分解が成り立たない例としては、「クンマー整数」
が有名です。

参考：http://www.sist.ac.jp/cs/tanaka/INTEGER.html

回答No.5

koko_u_u

素因数分解の一意性は普通の整数 -2, -1, 0, 1, 2, ... だけを考えていても、
その必要性を納得するのは難しいでしょう。

しかし数論では、そのような普通に言うところの整数以外についても「数」として取り扱うことで、
その応用範囲を広げました。でも、中学生で理解するのは無理。

回答No.4

wildcat-yp

No2です。
数論では虚数は使いません。小数も使いません。
整数論ともいいます。その名の通り整数しか使いません。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96

あえて整数の世界にのみ限定することでいろいろと面白い定理が発見され、そのうちの一つがRSA暗号等の公開鍵暗号方式です。
他の分野の数学の知識はほとんど使いませんので、たぶん、中学生でもある程度理解できるかもしれません。

no1さん、数学には事実というものは存在しませんよ。厳密な定義とそこから導き出された定理によってのみ構成される学問です。
そういう意味で行くと、素因数分解の一意性は定義ではなく定理ですが・・・

回答No.3

koko_u_u

>それと虚数を入れると素因数分解の一意性は守られないと思うのですが、これは良いのでしょうか？

例えばガウスの整数環 Z[i] では虚数 i は単元(逆数も整数)なので、素因数分解の一意性には無関係です。

普通の整数環でも -1 は素因数分解の一意性から除外しているのと同じです。

回答No.2

wildcat-yp

数論では使いますよ。
素因数分解の一意性がないとRSA暗号等は成り立ちません。
数論では虚数は使いませんので一意性は守られます。

お礼

数論では虚数を使わないのって本当ですか？
複素数は数と見なされないのですか？

回答No.1

Willyt

一意性は定義ではなく、事実じゃないでしょうか？