京都大学の入試問題らしいのですが・・・・

解法(1)
さいころのn個同時に投げるとき、出た目の数の和がn+3になる場合は、
(i)　1個が4の目、n-1個が1の目
(ii) 1個が3の目、1個が2の目、n-2個が1の目
(iii)3個が2の目、n-3個が1の目
のいずれかである。それぞれの場合の数は、
(i)　C(n,1)
(ii) C(n,1)×C(n-1,1)
(iii)C(n,3)
である。ただし、C(n,m)はn個のものからm個のものをとる組み合わせ数に等しいとする。

すべての場合の数は6^nであるから、求める確率は、
{C(n,1)+C(n,1)×C(n-1,1)+C(n,3)}/6^n
={n(n+1)(n+2)}/6^(n+1)　　　………(答)


解法(2)
n個のさいころの目をX1,X2,…,Xn(1,2,…,nは添え字)とすると、
X1+X2+…Xn=n+3, 1≦Xk(k=1,2,…,n)≦6
ここで、Yk=Xk-1とおくと、
Y1+Y2+…Yn=3, 0≦Yk≦5
これを満たす(Y1,Y2,…,Yn)の組の数は
H(n,3)=C(n+3-1,3)=C(n+2,3)
である。ただし、H(n,m)はn個のものから重複を許してm個のものをとる組み合わせ数である。

すべての場合の数は6^nであるから、求める確率は、
C(n+2,3)/6^n
=={n(n+1)(n+2)}/6^(n+1)　　　………(答)

投稿日時 - 2009-06-14 00:35:24