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広義重積分と行列の数列
2問お聞きしたいのですが 1問目は ε>0としD={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0)∬_D{(x^2-y^2)/(x^4+y^4)}dxdyを求めよ という問題で，極座標へ変数変換したまではいいんですが， (cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)の積分が出来なくて…。 2問目は(Aの右に付けてる数字とnは数列の番号です) A0=((1 0)^t (1 1)^t) (Aは行列，^tは転置) A1=((a c)^t (b d)^t) (a,b,c,d∈R | 0<c<1 | ad-bc=1) An=((an cn)^t (bn dn)^t) A(n+1)=(An)(A0)(An^-1) M=1/(1-|c|)とし，|a|<Mと仮定する。 (1)andn-bncn=1が成り立つことを示せ。 (2)cnを求めよ。 (3)|an|<Mを証明せよ。 (1),(2)はできたんですが，(3)がどう手を付けて良いのかわかりません。 どなたか解説お願いします。
- Kiriya_0
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1問目. 計算ミスはご容赦ください。 分子は、倍角の公式よりcos^2θ-sin^2θ= cos(2θ) 分母は、 1 = (cos^2θ+sin^2θ)^2 = cos^4θ+sin^4θ + 2cos^2θsin^2θ から、 cos^4θ+sin^4θ = 1 - 2cos^2θsin^2θ さらに倍角の公式よりsin(2θ)=2cosθsinθだから = 1 - sin^2(2θ)/2 ∫cos(2θ)/[2 - sin^2(2θ)]dθ/2 t = sin(2θ)とおく置換積分によって、 ∫1/(2-t^2)dt 後は部分分数分解を施せば √2/4∫[ 1/(√2 - t) + 1/(√2 + t)]dt となりlogの形に積分可能。
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- incd
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問2． (1),(2)の段階で c_n = (-1)^(n-1)c^n 及び a_nについての漸化式 a_{n+1} = 1 - a_n c_n = 1 - a_n (-1)^(n-1)c^n を得ていると思いますが、どうでしょうか（僕が計算を間違えている可能性もあります）。 数学的帰納法で証明できます。まず、n=1については a_1=aなので、 仮定より|a|<Mは満たされています。 次に、|a_n|<Mを仮定して|a_{n+1}|<Mを導きます。 a_{n+1} = a_n (-1)^(n-1)c^n 三角不等式（|x+y|≦|x| + |y|）より ≦ 1 + |a_n (-1)^(n-1)c^n| さらに、|xy| = |x||y|なので = 1 + |a_n| |(-1)^(n-1)| |c^n| = 1 + |a_n| |c^n| 0<c<1だから、c^n ≦ cだから ≦ 1 + |a_n| c （*cは正なので|c|でもcでもよい） ここで、仮定|a_n|<Mより ＜ 1 + M c ＝ 1 + c/(1-c) = (1-c+c)/(1-c) = 1/(1-c) = M よって a_{n+1} < M.
お礼
a_nの項内のad-bc=1とするのを忘れてました…。 解けました!!詳しい説明ありがとうございます^^
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