高校入試の問題についての質問
- 高校入試の問題についての質問です。ジュースの空き缶を交換する店に関する問題があります。
- 問題では、ジュースの空き缶を交換する店のルールや条件が説明されています。
- 問題の中でも特に難しいとされている(3)の問題については、解けないということで質問しています。
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高校入試の問題
考えたのですがギブアップです。教えてください！！ 問題 ジュースの空き缶７個をもっていくと、中身の 入った缶ジュース１個に交換してくれる店があります。 この店にジュースの空き缶を何個か持って行って 交換する事を考える。ただし、中身の入ったジュースは必ず 飲んで空き缶とし、空き缶は缶ジュースに交換できなくなるまで 交換するものとする。なお、このきまりでは最初にある ジュースの空き缶の個数が同じならば、どのように交換しても 飲めるジュースの個数は同じになり、最後に残る空き缶の数も 同じになる。このとき、次の問いに答えなさい。 (1)最初にジュースが370個あるとき、飲めるジュースの 個数と残る空き缶の個数を求めなさい。 (2)ジュースがちょうど43個飲めるには、最初に ジュースの空き缶が何個あればよいか。 (3)この店では、サービス期間中は空き缶6個で、中身の 入った缶ジュース1個に交換してくれる。サービス期間中以外 にすべてを交換したのでは、飲めるジュースの個数を 比べると50個の差があり、最後に残る空き缶の数を比べると サービス期間中のそれは、サービス期間中以外と比べると それの3倍になる。最初のジュースの空き缶の個数を求めなさい。 (1)と(2)はとけましたが。(3)だけどうしても わかりませんでした。
- uryu26
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- 数学・算数
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まず残った個数ですが、期間中なら3個、期間外なら1個です。これ以外だと必ずどちらかがさらにもう一回以上はジュースと交換できるため、ありえないからです。 次に期間中の3個の空き缶を作るためにはその前がどうなっているかを考えます。1個の空き缶を作るためには、6個の空き缶ができます。よって 3-1+6=8個 の空き缶があります。その8個ができる前は同様に 8-1+6=13個 の空き缶があります。このように、直前の状態は必ず5個多い状態です。すなわち、最後の状態を初項として、公差5の等差数列として缶の個数を表すことができます。よって、スタート時の缶の個数はある整数nを使って 3+(n-1)5 トータルで飲んだ個数は、1回さかのぼることに6本飲んでいるので 3+(n-1)6 となります。 同様に期間外を考えると、スタート時の缶の個数はある整数mを使って 1+(m-1)6 トータルで飲んだ個数は 1+(m-1)7 となります。 スタート時の缶の個数は同数、飲んだ個数は期間内の方が50個多いので 3+(n-1)5=1+(m-1)6 3+(n-1)6=1+(m-1)7+50 の二つの式が出ます。あとは連立方程式として解けば n=303、m=253 よって最初の個数は 3+(303-1)5=1513 または 1+(253-1)6=1513 より、最初のジュースの空き缶は1513個となります。
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