ガウシアンパルスのフーリエ変換

質問

以下のガウシアンパルスのスペクトラムを求めたくてフーリエ変換が必要なのですが、どのように計算すればよいのでしょうか？

e(t)=exp(-(t-4τ)^2/τ^2)sin(2πf0(t-4τ))

ここでf0=6GHz、τ=80psです。

回答No.1

inara1 · ベストアンサー

数式処理ソフトを使って計算すると以下のようになりました（i は虚数）。
　　E(ω) = ∫[ t = -∞～+∞ ] e(t)*exp( -i*ω*t ) dt
　　　　　= 1/2*sqrt(π)*τ*( exp( -1/4*τ^2*( ω - 2*π*f0 )^2 ) - exp( -1/4*τ^2*( ω + 2*π*f0 )^2 ) )*( sin( 4*τ*ω ) + i*cos( 4*τ*ω ) )

補足

早速の御回答ありがとうございました。
数式処理ソフトは何をお使いですか？私も実はMathematicaで同じ計算を行ったのですが、御回答の内容とは違うものすごく複雑な結果となってしまいました。

回答No.3

inara1

＞数式処理ソフトは何をお使いですか
Mapleです（MapleV Student Version）。
この計算ワークシートを参考URLに upload しました。

with(inttrans) というのは積分変換のパッケージを呼び出すコマンド、a:= というのは右辺の関数を a と定義する（代入）という意味です。assume（tau>0) は τ が正の数であることを宣言するコマンド（これを書かないと計算できなかった）、factor は因数分解のコマンド、evalc は実数と虚数とを分けて表示するコマンド、simplify は計算結果を簡単な式に変換するコマンド、fourier( a, t, w ) は a に対するフーリエ変換を計算する関数です（ t が時間、w が角周波数）。計算結果の式（青字）の中の τ が τ～ となっているのは、τ の値が（正の値として）定義済みという意味です。τ = 80ps、f0 = 60GHz として、元の関数 exp(-(t-4τ)^2/τ^2)sin(2πf0(t-4τ)) をプロットしたのが次のグラフです。これをフーリエ変換した関数はアンダーフローエラーのためにグラフ化できませんでした。

回答No.2

imoriimori

Mathematicaですと、私なりに書くと次のようになります。十分きれいな式にもならず、ちょっと時間はかかりますが、お試しください。
e = Exp[-(t - 4 tau)^2/tau^2] Sin[2 Pi f0 (t - 4 tau)]
func = FourierTransform[e, t, f, FourierParameters -> {0, -2 Pi},
Assumptions -> {tau > 0}]
FullSimplify[func]
正しいかどうかは保証しませんし、この結果よりももっと簡潔な式にまとめることもできるかもしれませんが、とりあえず。