マクローリン展開(1/2)

tan^(-1) x と書くから、arctan x と誤解されるんです。
cot x と書いたほうが安全です。
f ' (x) = -1/(sin x)^2 となるような f(x) を
考えているんですよね？

cot x は、x = 0 に極を持ちますから、
x = 0 を中心にテーラー展開することはできません。
替わりに、ローラン展開すると良いでしょう。

オイラーの等式　e^ix = cos x + i sin x を使って変形すると、
x cot x = ix + 2ix/(e^2ix - 1) となりますが、右辺に現われる
z/(e^z - 1) は整関数であり、ベルヌイ数の定義式
z/(e^z - 1) = 1 + Σ[n=1→∞] (B_n / n!)z^n が成立します。
z = 2ix を代入して整理すれば、
f(x) = 1/x + (xのベキ級数) という形に展開されます。
ベキ級数部分の係数は、このヒントに従って
自分で計算してみて下さい。

投稿日時 - 2009-04-21 22:22:36

f(x)=tan^(-1)(x)≡arctan(x)
ですよ。

f'(x)=1/(1+x^2)
x=0を代入できませんか？

f''(x)=-2x/(1+x^2)^2
f'''(x)=2(3x^2-1)/(1*x^2)^3
...
などもx=0を代入できますよ？

投稿日時 - 2009-04-21 21:50:12

>（y=tanxをy=xについており返せばよいのですぐ書けます。）X=0で傾きが無限大です。

傾き1だよ．0の近傍でtan(x)はxで近似できるんだから．

投稿日時 - 2009-04-21 21:46:00

f(x)=tan^(-1)xと言ったらf(x)=arctanx（逆三角関数）を指すかと
そうすれば
f'(x)＝1/(1+x^2)
となります

もしf(x)＝1/tanxの意味ならそもそもマクローリン展開をする意味がありません

投稿日時 - 2009-04-21 21:45:30

y=tan^(-1)xのグラフを書いて見てください。（y=tanxをy=xについており返せばよいのですぐ書けます。）X=0で傾きが無限大です。このようなところではマクローリン展開自体が無意味です。

投稿日時 - 2009-04-21 21:34:59