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2乗平均とガウス分布の関係

<v^2>=(1/T)∫0→T(v^2)dt=∫0→∞(v^2)*P(v)dv=σ^2 の解法のヒントを教えてください ちなみに <v^2>:vの2乗平均 P(v):ガウス分布(1/√2*σv)*exp(-v^2/2σ^2)です。 σ:分散 です。

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noname#227064
noname#227064
回答No.1

> <v^2>=(1/T)∫0→T(v^2)dt=∫0→∞(v^2)*P(v)dv=σ^2 (1/T)∫0→T(v^2)dtというのが良くわかりませんが、<v^2>=σ^2を証明したいのですよね。 解法のヒントは、vP(v)σ^2をvで微分してみることです。 あと、 > P(v):ガウス分布(1/√2*σv)*exp(-v^2/2σ^2)です。 > σ:分散 は、 P(v):ガウス分布{1/(√2*σ)}*exp(-v^2/2σ^2)です。 σ:標準偏差 の間違いですよね。

gakusei21
質問者

お礼

ヒントを頂きましたとおりvP(v)σ^2をvで微分してみました。 d(vP(v)σ^2)/dv=σ^2・d(vP(v))/dv d(vP(v))/dv=P(v)+vdP(v)/dv となりP(v)にガウス分布の式を代入してvで微分すると d(vP(v))/dv = P(v)-{v^2/(√(2π)σ^2)}*exp(-v^2/2σ^2) となりましたが、ここまで合っているでしょうか? 違っていれば、お手数おかけしますがもう少しヒントを頂けないでしょうか?

gakusei21
質問者

補足

ご指摘のとおり標準偏差の間違いです。

その他の回答 (2)

noname#227064
noname#227064
回答No.3

> さらに、積分の式のPにガウス分布を代入して-∞→∞まで変数vで積分したらいいのでしょうか? 実際に代入しなくとも、確率密度関数の定義とvP(v)が奇関数であることから、 ∫v^2P(v)dv = ∫{P(v)σ^2-d(vP(v)σ^2)/dv}dv = σ^2∫P(v)dv-σ^2∫{d(vP(v))/dv}dv = σ^2-σ^2[vP(v)](-∞,∞) = σ^2 となることがわかります。

gakusei21
質問者

お礼

すみません、度々お聞きしまして(-_-;) 詳しく説明していただいたおかげで、すっきり納得しました。 本当にありがとうございました。

noname#227064
noname#227064
回答No.2

> d(vP(v))/dv = P(v)-{v^2/(√(2π)σ^2)}*exp(-v^2/2σ^2) > となりましたが、ここまで合っているでしょうか? P(v)の微分が間違っています。 正しくは、 d(vP(v))/dv = P(v)-{v^2/(√(2π)σ^3)}*exp(-v^2/2σ^2) なので、 d(vP(v)σ^2)/dv = P(v)σ^2-v^2P(v) v^2P(v) = P(v)σ^2-d(vP(v)σ^2)/dv ∫v^2P(v)dv = ∫{P(v)σ^2-d(vP(v)σ^2)/dv}dv となります。 今更ながら気付いたのですが、 > <v^2>=(1/T)∫0→T(v^2)dt=∫0→∞(v^2)*P(v)dv=σ^2 の積分範囲は0→∞ではなくて-∞→∞ではないでしょうか?

gakusei21
質問者

お礼

さらに、積分の式のPにガウス分布を代入して-∞→∞まで変数vで積分したらいいのでしょうか?

gakusei21
質問者

補足

度々、すみません。おそらく打ち間違えたんだと思います。

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