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高校の入試問題の答え（円と3角形）

中学生のおいに聞かれましたが できませんでした。 教えてください。 一応答えは考えてみましたが とき方なんか説明していただけると大変助かります. 　 半径ｒの円Ｏの円周上に2点Ａ，Ｂをとる。 さらに円周上に点Ｃを取り、△ＡＢＣを作るとき次の問いに答えなさい。 問１ △ＡＢＣが最大となるのは△ＡＢＣがどんな３角形のときか 答１ ２等辺三角形？ 面積が最大という事は、高さが最大になるときだから、 ＡからもＢからも遠いときなので２とうへん三角形かなと思ったんです。　　 問２ 辺ＡＢの長さが２のとき△ＡＢＣの面積の最大値をｒを使ってあらわしなさい。 答２ ２等辺三角形ってことと１：１：ルート２を使うんだろうなとはおもうんでが・・・ 問３ △ＡＢＣが正３角形となるとき一辺の長さを使ってあらわしなさい。 答３ √２ｒ ３平方の定理による。 　　　　

みんなの回答

  • mirage70
  • ベストアンサー率28% (32/111)
回答No.9

(1)直線ABに平行線Lを引き、直線ABの中点をMとします。 直線ABと直線Lの距離が三角形ABCの高さとなります。 この直線Lを平行移動したときに、一番距離の大きいときが、面積が最大となります。すなわち、円Oとの接線となったときが最大であるが、接線は２本引けるが、 中心を通った反対側となる。この点がCとなる。して、AB平行Lより、円の中心をOとすると、OC⊥L、MOCは一直線となることからAC=BC 即ち、二等辺三角形 (2)、(1)を利用して、MO=hと置くと、AM=AB・1/2=1、AO=r、∠AMO=∠R よって、h"2=r"2-1 ∴h=√(r"2-1) 面積は、底辺=AB=2,高さ=h+r よって、S=r+√(r"2-1) 確かめるには、特殊形として、r=1のとき、即ちABが直径となるときと、 r=2のときは、３０°、６０°、９０°が使えます。 (3)、(2)を利用する。 正三角形より∠BAC=60°、∠MAO=30°∠AMO=∠R, AO=r此より、 OM=r/2,AM=r・√(3)/2 AB=2・AM=r・√(3) 此でよいと思います。

  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.8

問１の証明をもう少しビジュアル的に。 適当なCを通り、ABに平行な線を引く。 そうすると、その平行線の向こう側にある（線分ABから見て）円弧上に点Cをとったら、もっと面積大きくできるはず！ ということで、この平行線をぎりぎりまで遠くに離してやると・・・接点を考えればよいよね？この接点が求めるC。 このとき２等辺三角形になる証明は・・・接弦定理（この名前って一般的ですかね？）と平行線の錯角を用いればOK。 はじめにおもむろに平行線を引く理由は。。。 ２点A,Bが決まっている三角形の第３の頂点Cを動かすとき、CをABに平行に動かせば面積変わらない。（平行線と等積変形） ということを考えています。

  • Largo_sp
  • ベストアンサー率19% (105/538)
回答No.7

springsideさんの解答が正解のようですが... 問２は　ｒ＞＝１ですね…ｒ＝１のときも、面積が１の三角形ができますよね…

回答No.6

問１ 答えは正三角形ではないです。これは、例えばＡＢの長さがすごく短くて、△ＡＢＣが正三角形になるようなＣが円周上にとれない場合を考えればわかります。つまり、答えは「ＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形」です。証明は、ＡＢを底辺と見てＣからＡＢに下ろした垂線（△ＡＢＣの高さ）が最大になる場合を図形的に考えれば明らかでしょう。 問２ 面積が最大になるのは、上記問１のように、「ＣＡ＝ＣＢの二等辺三角形」のときである。円の中心をＯ、辺ＡＢの中点をＭとする。△ＯＡＭを考えると、ＯＡ＝ｒ、ＡＭ＝１なので、三平方の定理より、ＯＭ＝√（ｒ^２－１）となる。△ＡＢＣの底辺＝ＡＢ＝２、高さ＝ＭＯ＋ＯＣ＝√（ｒ^２－１）＋ｒなので、面積は、２×｛√（ｒ^２－１）＋ｒ｝÷２＝√（ｒ^２－１）＋ｒ （注：題意より、ｒ＞１は明らか） 問３ 辺ＡＢの中点をＭとする。△ＯＡＭを考えると、ＯＡ＝ｒであり、∠ＯＡＭ＝３０°なので、ＡＭ＝（√３）／２×ｒとなる。よって、１辺の長さは、２ＡＭだから、（√３）ｒ

回答No.5

問１は正三角形でＯＫ！（二等辺三角形も正三角形に含んで考える） 問２は正三角形の１辺が２なのでＢＣの中点Ｍをとると△ＡＢＭは１：２：√３の比よりＡＭ＝√３。△ＡＢＭの面積は２×√３÷２＝√３ 問３は√３／４　×ｒ＾２　ｒは正三角形の１辺とする こんな感じです。

  • may-may-jp
  • ベストアンサー率26% (324/1203)
回答No.4

2）三角形を、円の半径を使って3つに分け、それぞれ面積を求めて最後に足すのが正解かと思われます。 3）（2）と同様にして求められます。

参考URL：
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm
  • smurata
  • ベストアンサー率13% (4/29)
回答No.3

＃１です。 問題を読むと、二点Ａ，Ｂはどこにあるか任意なのですね。すると以下の解は間違えました。すいません。

  • ONEONE
  • ベストアンサー率48% (279/575)
回答No.2

問１は正三角形だと思うのですが・・・証明は微積を使ってやると思います。 問３は内接正三角形を描いて中心から三頂点へ線を引きます。そして中心からひとつの辺へ垂線を下ろします。 そうすると、90度60度30度の直角三角形ができますから、１：２：√３で一辺＝√３ｒではないですか？ あいまいな答え方ですいません。

  • smurata
  • ベストアンサー率13% (4/29)
回答No.1

こんにちは 問１ 円周上の３点ですよね？ 正三角形では？ Ａ，Ｂの点を、直径の中心を通る直線の、円周と交わる点の両端にとるのであれば２等辺三角形となると思いますが。 問２、問３ 私の答え（正三角形）では両方同じ解になります。 ｒ×√３÷２

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