ラプラス変換のｔのｎ乗公式についてわからない問題があります。

質問

ラプラス変換で、
L（ｔ＾ｎｆ(ｔ)）＝（-1）＾ｎ　ｄ^ｎ/ｄｓ^ｎ　F(ｓ)
がありますね。俗に言う像の微分法則の一般形です。
^ｎはｎ乗を意味し、F(ｓ)はf(ｔ)のラプラス変換です。
今回の質問はf(t)がsin(at)またはcos(at)のとき、どうなるかということです。つまり、
L(t^nsin(at))=
L(t^ncos(at))=
が何かになるということです。
計算していくと、結局は
a/(s^2+a^2)　および　s/(s^2+a^2)　のｎ階微分を求めればいいのですが、これが私はできないのです。どうか知恵を貸してください。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

L(t^n・sin(at))
=｛(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2｝・sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]]

L(t^n・cos(at))
=｛(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2｝・cos[(n+1)cot^(-1)[s/a]]

（1/(s^2+a^2)　および　s/(s^2+a^2)　のｎ階微分公式を利用しました。）

補足

早くも返事いただき、ありがとうございます。いくつかたずねたいのですが、sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]やcos[(n+1)cot^(-1)[s/a]といった項は出てくるんですか？？
後、1/(s^2+a^2)　および　s/(s^2+a^2)　のｎ階微分公式はできれば導き方を教えていただきたいです。

回答No.3

Ae610

補足要求からの返答が遅れました事お詫び致します。
取り敢えず
f(s)＝a/(s^2+a^2) の場合のみ導出します。
sで1回微分するとf'(s)＝－2as/(s^2+a^2)^2
一方f^<n>(s)　　　　（f^<n>(s)はfのn回微分を表すものとする）
＝｛(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2｝・sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]]
においてn=1のとき
＝－1/(s^2+a^2)・sin[2cot^(-1)[s/a]]・・・(1)である。
ここでcot^(-1)[s/a]=φとおけば
sinφ＝a/√(s^2+a^2)
cosφ＝s/√(s^2+a^2)
で表せる。よって
(1)＝－1/(s^2+a^2)・sin[2φ]＝－1/(s^2+a^2)・2sinφcosφ
＝－2/(s^2+a^2)・a/√(s^2+a^2)・s/√(s^2+a^2)
＝－2as/(s^2+a^2)^2＝f'(s)

n＝kのとき成り立つとする。
f^<k>(s)
＝｛(-1)^k・k!/(s^2+a^2)^(k+1)/2｝・sin[(k+1)cot^(-1)[s/a]]
両辺をsで微分（見づらいのでcot^(-1)[s/a]＝φとしておく）
f^<k+1>(s)＝d/ds（f^<k>(s)）
＝d/ds｛(-1)^k・k!/(s^2+a^2)^(k+1)/2｝・sin[(k+1)φ]
＝(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+3)/2｛s・sin[(k+1)φ]+a・cos[(k+1)φ]｝
＝(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+2)/2・｛s/√(s^2+a^2)・sin[(k+1)φ]+a/√(s^2+a^2)・cos[(k+1)φ]｝
＝(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+2)/2・sin[(k+2)φ]
＝(-1)^(k+1)・(k+1)!/a(s^2+a^2)^(k+2)/2・sin[(k+2)cot^(-1)[s/a]]
依ってn=k+1のときも成立

従って、
f^<n>(s)
＝｛(-1)^n・n!/(s^2+a^2)^(n+1)/2｝・sin[(n+1)cot^(-1)[s/a]]

回答No.2

Tacosan

#1 の結果が得られることが分かっていれば筋道は立ちます.
たとえば s/(s^2+a^2) = (1/2)[1/(s+ia) + 1/(s-ia)] を n階微分すればいい. s+ia や s-ia の (n+1)乗を求めるところは「単なる複素数」と思って極座標表示に変換すればよいでしょう.