伝熱を時間の関数で表せますか

質問

下記のような実験をしました。

液体の出入り口を設けた容器内に液体を満たしヒーターを設置します。
1.ヒーターをONすると同時に液体を流し、容器内の液体の温度を測りました。供給される液体の温度は一定です。
測定した容器内液体温度は最初は上昇傾向を示し、やがて一定温度になりました。
2.次に液体の供給を停止し、同時にヒータをOFFにしたところヒーター温度は下降、液体温度は上昇しある温度で一定となりました。

高校時代に習った式は、
容積Vの容器の中に重さm(l)、比熱C(l)、温度T(l)の液体を満たし、
重さm(s)、比熱C(s)、温度T(s)　(T(s)>T(l))の金属塊を入れたとき
平衡状態の温度Tはいくらになるかという問題で
　m(l)*C(l)*(T-T(l))=m(s)*C(s)*(T(s)-T)
といった式でしたが、この式で得られるような安定後の温度ではなくて

上記2つの実験において液体の温度について1秒後には何度、2秒後には何度、一定に達した時の温度は何度・・・
というようにある時間での容器内液体の温度を知りたいのですが上記実験で温度を時間の関数で表すことは可能でしょうか

伝熱に関する知識は高校物理程度です。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

foobar · ベストアンサー

＃１訂正
式を間違えてました。
T(t)=Ts+(1-exp(-t/τ))(Te-Ts)
もしくは
T(t)=Te+exp(-t/τ)(Ts-Te)

です。（じゃないと、ご指摘のとおり、t=0などであわなくなってしまいます。）

時定数τ
これは、
（今の温度-最終的に落ち着く温度（Te))/今のプロットの傾き
になります。
もし、そのまま直線的に温度が変われば、τ秒後に、温度がTeになる、そんな定数です。
実際には、Teは良くわからない（温度が一定になるところまで測定できるわけではないのと、温度測定のばらつきのようなものものあるので）ので、温度が変化しているところに、上記の式をフィッティングして、τ、Teを求めるような処理をすることが多いです。

お礼

なるほど。
大変参考になります。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

foobar

いくつか条件を設定すれば、定式化できると思います。

例えば、
・容器は断熱されている
・容器内の温度は均一
という条件があれば、

容器内の温度は
ヒーターONしたとき、OFしたときそれぞれについて、
T(t)=Ts+exp(-t/τ)(Te-Ts)
t:ヒータをオンあるいはオフしてからの経過時間
Ts:t=0のときの温度
Te:そのままヒータをON（あるいはOFF）し続けたときの最終温度（ヒータ電力、流量、比熱などで決まる）
τ:容器内液の熱容量で決まる時定数
という式に乗るかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

数学、物理の世界からしばらく遠ざかっていたので
理解不足の点が多々あるかもしれませんが
・t=0の場合
　T(0)=Ts+Te-Ts
　　　=Te
となって開始温度が最終温度になってしまうのでしょうか?

・τは時定数とのことですが
　時間に対する液体温度のプロットで描かれるグラフの傾きで
　良いのでしょうか?
　(使用する液体の熱容量次第で傾きは変わるから定数化する?・・・と考えました)

とんちんかんな事をたずねているかもしれませんが
よろしければご教授よろしくお願いいたします。