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組み合わせ，確率，期待値に関する数学の質問です

A,Bの2人がレストランに来ました．メニューが17種類(1,...,17)あります． A,Bの両者は，互いが何を選択するのか知らないまま，各自4つの料理を選択します． この場合，両者のメニューに重なりが生じる確率と，重なりの期待値は，いくらになりますか． わたしの基本的な考え方はこうです． まず，A,B両者の選択肢は17C4 = 2,380通りあるが，Aの選択を(1,2,3,4)として一般性に問題はない． 4つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3,4)を選択する場合なので，1通り． 3つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3)を選択する場合に15通り，(1,2,4)を選択する場合に15通り...つまり，4C3 x 13C1 = (4x3x2/3x2x1) x 13 = 52通り． 2つ重なりが生じる場合は，同様に，4C2 x 13C2 = 468通り． 1つ重なりが生じる場合は，同様に，4C1 x 13C3 = 1,144通り． したがって，重なりが生じる確率は，(1+52+468+1,144)/2,380 = 69.96%で，期待値は，(1x4 + 52x3 + 468x2 + 1144)/2,380 = 0.94となる． この考え方でよいでしょうか． また，3人の場合，4人の場合は，どうなるでしょうか? 文系の私には少々酷な思考実験なのですが，ボスに考えさせられております．

みんなの回答

  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.3

こんにちは。 確率の計算においては、コンビネーションを用いるのが怖いので、 最小限使うようにして計算してみました。 ４つ重なる確率は、 4Ｃ4　×　４／１７×３／１６×２／１５×１／１４　 　＝　4Ｃ4　×　（４×３×２×１）／17Ｐ4 ３つ重なる確率は、 4Ｃ3　×　４／１７×３／１６×２／１５　×　１３／１４ 　＝　4Ｃ3　×　（４×３×２）×１３／17Ｐ4 ２つ重なる確率は、 4Ｃ2　×　４／１７×３／１６　×　１３／１５×１２／１４ 　＝　4Ｃ2　×　（４×３）×（１３×１２）／17Ｐ4 １つ重なる確率は、 4Ｃ1　×　４／１７　×　１３／１６×１２／１５×１１／１４ 　＝　4Ｃ1　×　４×（１３×１２×１１）／17Ｐ4 まったく重ならない確率は、 4Ｃ0　×　１３／１７×１２／１６×１１／１５×１０／１４ 　＝　4Ｃ0　×　（１３×１２×１１×１０）／17Ｐ4 以上の５つを分子だけ足し算すると、 4Ｃ4　×　（４×３×２×１） 　＋　4Ｃ3　×　（４×３×２）×１３ 　　＋　4Ｃ2　×　（４×３）×（１３×１２） 　　　＋　4Ｃ1　×　４×（１３×１２×１１） 　　　　＋　4Ｃ0　×　（１３×１２×１１×１０） ＝　１　×　（４×３×２×１） 　　　＋　４　×　（４×３×２）×１３ 　　　　＋　６　×　（４×３）×（１３×１２） 　　　　　＋　４　×　４×（１３×１２×１１） 　　　　　　＋　１　×　（１３×１２×１１×１０） ＝　２４ 　　　＋　１２４８ 　　　　＋　１１２３２ 　　　　　＋　２７４５６ 　　　　　　＋　１７１６０ ＝　５７１２０ 一方、分母は、 １７×１６×１５×１４　＝　５７１２０ 合いました。 重なりが生じる確率　＝　１　－　１７１６０／（１７×１６×１５×１４） 　＝　０．６９９６ 質問者様の結果と合いました。 期待値は、 （２４×４　＋　１２４８×３　＋　１１２３２×２　＋　２７４５６　×　１）／（１７×１６×１５×１４） 　＝　0.941176471 質問者様の結果と合いました。 ＞＞＞また，3人の場合，4人の場合は，どうなるでしょうか? ちょっと考えてみましたが、ギブアップです。 以上、ご参考になりましたら。

  • kenjoko
  • ベストアンサー率20% (23/110)
回答No.2

No.１です この考え方でよいでしょうか． よいと思われます 重なりが０の場合が抜けていますね　　　　　　　　　　（１） 各々の場合の合計が17C4にならないといけません　　　　（２） （１）、（２）は必要なかったですね。 ただし、無駄ではありません このような問題では（１）の確立を余事象の確立として求めるのが一般的で、間違いも少なく、計算量も少なくて済みます。 期待値を求めるときは Σp=1を確認しておいたほうがいいでしょう。このとき、（２）が必要となります。

  • kenjoko
  • ベストアンサー率20% (23/110)
回答No.1

わたしの基本的な考え方はこうです． まず，A,B両者の選択肢は17C4 = 2,380通りあるが，Aの選択を(1,2,3,4)として一般性に問題はない． 4つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3,4)を選択する場合なので，1通り． 3つ重なりが生じる場合は，Bが(1,2,3)を選択する場合に15通り，(1,2,4)を選択する場合に15通り...つまり，4C3 x 13C1 = (4x3x2/3x2x1) x 13 = 52通り． 2つ重なりが生じる場合は，同様に，4C2 x 13C2 = 468通り． 1つ重なりが生じる場合は，同様に，4C1 x 13C3 = 1,144通り． したがって，重なりが生じる確率は，(1+52+468+1,144)/2,380 = 69.96%で，期待値は，(1x4 + 52x3 + 468x2 + 1144)/2,380 = 0.94となる． この考え方でよいでしょうか． 　 　　 　　　重なりが０の場合が抜けていますね 各々の場合の合計が17C4にならないといけません 　　　1 + 52 + 468 + 1144 = 1665　≠　17C4 また，3人の場合，4人の場合は，どうなるでしょうか? 文系の私には少々酷な思考実験なのですが，ボスに考えさせられており ます． これは暇なときに私も挑戦してみます

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