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cchisako

Write out the multiplication table for D_4, the symmetry group of the square below.

という問題です。{id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか?

 id,a,b,c
id
a
b
c

というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら
下図のように64マスになってます。
これはどういうことでしょうか?

それと上図はどのように利用するのでしょうか?

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/miscellaneousness/table.jpg
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  • Aみんなの回答(全3件)

    質問者が選んだベストアンサー

    • 2009-01-24 15:22:16
    • 回答No.1
    とりあえず教科書とかをきちんと読むこと。
    D4は日本語では4次の「二面体群」というものであり
    要素数は8。
    きわめて基本的な練習問題に過ぎませんので
    自力で解きましょう.
    D4の定義を理解していないから「全単射の個数」なんていう
    筋違いなことになって解けないのです.

    定義の流儀が複数あるので,
    定義をここに書くと混乱するかもしれないけど
    D4は一個の正方形を自分自身にうつす合同置換の集合です.
    したがって,
    冷静に考えれば,「45度の回転」と「上下の入れ替え」から
    生成される群であることはすぐにわかります
    (これは上のほうの正方形の図の意味).
    お礼コメント
    有難うございます。D_4の意味が分かりました。

    1,4
    2,3 の像として

    1,4
    2,3

    4,3
    1,2

    3,2
    4,1

    2,1
    3,4

    2,3
    1,4

    4,1
    3,2

    1,2
    4,3

    3,4
    2,1

    の8個の写像があるのですね。
    三角形の場合は3次の2面体群,5角形の場合は5次の2面体群,…
    と呼ぶのですね。
    投稿日時 - 2009-01-25 08:30:53
    • ありがとう数0
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    その他の回答 (全2件)

    • 2009-01-25 11:10:10
    • 回答No.3
    NO.1です. >冷静に考えれば,「45度の回転」と「上下の入れ替え」から わお! 2π/4を45度書いてしまった。。かなりへこみましたが 当然90度です. 45度回転で正方形が一致するわけがない ...続きを読む
    NO.1です.
    >冷静に考えれば,「45度の回転」と「上下の入れ替え」から

    わお!
    2π/4を45度書いてしまった。。かなりへこみましたが
    当然90度です.
    45度回転で正方形が一致するわけがない
    お礼コメント
    有難うございました。
    とても勉強になりました。
    投稿日時 - 2009-01-26 02:30:31
    • ありがとう数0
    • 2009-01-25 00:36:01
    • 回答No.2
    > {id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか? ハズレです。 4点から4点への全単射全体だと、正方形が捻れて蝶ネクタイみたいに なる写像も含まれてしまいます。 > というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら あれれ? D_4 が { id, a, b, c } に作用する… と考えたのかと思ったら、 途中から、D_4 ...続きを読む
    > {id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか?

    ハズレです。
    4点から4点への全単射全体だと、正方形が捻れて蝶ネクタイみたいに
    なる写像も含まれてしまいます。

    > というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら

    あれれ?
    D_4 が { id, a, b, c } に作用する… と考えたのかと思ったら、
    途中から、D_4 = { id, a, b, c } という考えに変わってしまいましたね。

    具体的な D_4 以前に、乗積表って何なのか、考え直してみたほうが
    よいのでは?


    因みに、D_4 は、「90°の回転」と「裏返し」で生成されます。
    「裏返し」は、上下の反転でも、左右の反転でも、対角線についての鏡映でも。
    お礼コメント
    有難うございました。
    とても勉強になりました。
    投稿日時 - 2009-01-26 02:29:49
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