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D_4の乗積表の作り方って?

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お礼率 86% (163/188)

Write out the multiplication table for D_4, the symmetry group of the square below.

という問題です。{id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか?

 id,a,b,c
id
a
b
c

というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら
下図のように64マスになってます。
これはどういうことでしょうか?

それと上図はどのように利用するのでしょうか?

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/miscellaneousness/table.jpg
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 51% (724/1416)

とりあえず教科書とかをきちんと読むこと。
D4は日本語では4次の「二面体群」というものであり
要素数は8。
きわめて基本的な練習問題に過ぎませんので
自力で解きましょう.
D4の定義を理解していないから「全単射の個数」なんていう
筋違いなことになって解けないのです.

定義の流儀が複数あるので,
定義をここに書くと混乱するかもしれないけど
D4は一個の正方形を自分自身にうつす合同置換の集合です.
したがって,
冷静に考えれば,「45度の回転」と「上下の入れ替え」から
生成される群であることはすぐにわかります
(これは上のほうの正方形の図の意味).
お礼コメント
cchisako

お礼率 86% (163/188)

有難うございます。D_4の意味が分かりました。

1,4
2,3 の像として

1,4
2,3

4,3
1,2

3,2
4,1

2,1
3,4

2,3
1,4

4,1
3,2

1,2
4,3

3,4
2,1

の8個の写像があるのですね。
三角形の場合は3次の2面体群,5角形の場合は5次の2面体群,…
と呼ぶのですね。
投稿日時 - 2009-01-25 08:30:53
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  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 51% (724/1416)

NO.1です. >冷静に考えれば,「45度の回転」と「上下の入れ替え」から わお! 2π/4を45度書いてしまった。。かなりへこみましたが 当然90度です. 45度回転で正方形が一致するわけがない ...続きを読む
NO.1です.
>冷静に考えれば,「45度の回転」と「上下の入れ替え」から

わお!
2π/4を45度書いてしまった。。かなりへこみましたが
当然90度です.
45度回転で正方形が一致するわけがない
お礼コメント
cchisako

お礼率 86% (163/188)

有難うございました。
とても勉強になりました。
投稿日時 - 2009-01-26 02:30:31

  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 38% (442/1154)

> {id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか? ハズレです。 4点から4点への全単射全体だと、正方形が捻れて蝶ネクタイみたいに なる写像も含まれてしまいます。 > というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら あれれ? D_4 が { id, a, b, c } に作用する… と考えたのかと思ったら、 途中から、D_4 ...続きを読む
> {id,a,b,c}から{id,a,b,c}への全射全体がD_4になるのでしょうか?

ハズレです。
4点から4点への全単射全体だと、正方形が捻れて蝶ネクタイみたいに
なる写像も含まれてしまいます。

> というような16マスの乗積表を完成させればいいのかと思いましたら

あれれ?
D_4 が { id, a, b, c } に作用する… と考えたのかと思ったら、
途中から、D_4 = { id, a, b, c } という考えに変わってしまいましたね。

具体的な D_4 以前に、乗積表って何なのか、考え直してみたほうが
よいのでは?


因みに、D_4 は、「90°の回転」と「裏返し」で生成されます。
「裏返し」は、上下の反転でも、左右の反転でも、対角線についての鏡映でも。
お礼コメント
cchisako

お礼率 86% (163/188)

有難うございました。
とても勉強になりました。
投稿日時 - 2009-01-26 02:29:49
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