正規分布に従う確率変数同士の積の分布について

質問

確率変数X,Yがそれぞれ正規分布N(X|μx, σx^2),N(Y|μy, σy^2)に従っているとき，Z=X*YとおくとZの分布はどのような分布になるのでしょうか，またどのように導出すればよろしいでしょうか．参考になるHP等あればお教えください．

調べたところ，確率変数同士の和の分布について(Z=X+YのときのZの分布)は，畳み込みで求めるられ，また，正規分布に従う確率変数の自乗の分布はカイ２乗分布であることも分かりました．
これらを参考にZ=X*YのときのZの分布を求めようと，畳み込み同様に変数変換を行い積分をしようとしたのですが指数部の中が複雑になり積分が手に負えなくなってしまいます...

回答No.3

gef00675

＃２の訂正です。
μx,μy=０の場合:
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
(x,y)→(t,s)と同時に、(-x,-y)→(t,s)の対応もあるので、
∬dxdy=2∬dsdtで、積分値を２倍しないといけなかった。
（極めて基本的なミス。。。こういう間違いはしないでね）

ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=2/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt。
tの確率密度関数は
f(t)=1/(2π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
　z=√(s^2+t^2), (s>0)と変数変換して、２倍して、
f(t)=1/π∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
部分積分すれば、z=|t|での被積分関数の特異性が消える。
f(t)=1/π∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)。
積分区間を固定するために、z=|t|*xと変数変換してもよい。
f(t)=1/π∫log(x+√(x^2-1))*|t|*exp(-|t|x)*dx (1<x<∞)。
ただし、t≠0。f(t)はt→0で無限大に発散する。

ここからは検算。
∫f(t)dt, (-∞<t<∞,t≠0)
=2∫f(t)dt, (0<t<∞)
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*∫t*exp(-tx)*dt
=2/π∫dx*log(x+√(x^2-1))*(1/x^2), (1<x<∞)
=2/π∫dx/(x√(x^2-1)), （部分積分）
=2/π*lim Arctan(√(x^2-1)), (x→∞)
=2/π*π/2
=1
無事、1になった。

回答No.2

gef00675

＞，X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか
X,Yをσx,σyで割っておいたのは、U,Vが独立になるようにしたかったから。
こうすると、expの中の交差項uvが現れず、u^2, v^2だけになる。

分散はこうやって処理できるのだが、μx,μyの処理が難しい。それゆえ非心カイ２乗分布が出てきてしまうのである。

μx,μyが０の場合であれば、少しは計算がしやすい。
t=xy, s=(y^2-x^2)/2と変数変換すると、
ヤコビアンはJ=x^2+y^2=2√(s^2+t^2)なので、
(x,y)の同時確率密度は、
1/√(2π)*exp(-x^2/2)*1/√(2π)*exp(-y^2/2)*dxdy
=1/(4π)*exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*dsdt
となる。よって、tの確率密度関数は
f(t)=1/(4π)∫exp(-√(s^2+t^2))/√(s^2+t^2)*ds (-∞<s<∞)
と表される。被積分関数は原点について対称だから、s>0の部分だけ考えて２倍し、
　z=√(s^2+t^2), (s>0)
と変数変換すると
f(t)=1/(2π)∫exp(-z)/√(z^2-t^2)*dz (|t|<z<∞)
とも表される。この積分は初等関数では表せそうにない。
部分積分すれば、z=0での特異性が消えて、
f(t)=1/(2π)∫log(z/|t|+√((z/t)^2-1))*exp(-z)*dz (|t|<z<∞)
となる。この形なら数値積分は容易だろう。

ラプラス分布にはならんかった。ごめん。

回答No.1

gef00675

なんかの本で見たのだが、どこへ行ったかわからなくなってしまった。
途中までやってみる。
U=(X/σx + Y/σy)/√2, V=(X/σx - Y/σy)/√2,
と変換すると、U,Vは独立で、それぞれN(μ1,1),N(μ2,1)の正規分布にしたがう。
(μ1=(μx/σx + μy/σy)/√2, μ2=(μx/σx - μy/σy)/√2 とおいた)
このU,Vを用いると、
XY=(σxσy/2)(U^2-V^2)
と表される。U^2,V^2は独立で、それぞれ自由度1の非心カイ２乗分布にしたがう。つまり、XYは独立な非心カイ２乗変数の差で表せることになる。
μx=μy=0、σx=σy=1の場合、T=XYの分布は、うろ覚えだが、たぶん、ラプラス分布1/2*exp(-|t|)だったのではないかと思う。あってるかどうかは自分で確かめて。

お礼

gef00675さん，ご回答ありがとうございます．
うまく変数変換して他の分布で表現するんですね．大変勉強になりました．ただ，X,Yの線形結合であるU,Vがそれぞれ独立になるのか疑問に思いました．ちょっと自分で確かめてみようと思います．ありがとうございました．