円運動

質問

Ｌ/2の薄い板ＡＢと長さＬ/4の薄い板ＢＣを垂直に接合し、ＡＢが鉛直になるように固定する。上端Ａに長さＬの糸の一端を固定し、他端に質量ｍの物体を結びつける。糸がたるまないように物体を手で持ち上げ、糸の鉛直方向となす角度θとなった時、静かに手を離す。ただし、
0＜θ≦π/2であり、重力加速度の大きさをgとする。

（３）物体がBCと同じ高さの点Qに到達するためのcosθの条件を求めよ。
（６）物体がBに到達するためのcosθの条件を求めよ

解答では（３）は点Qに到達した時の運動エネルギー≧０となればよいという考え方を使っていて（６）では物体はRを通過できれば、Bに到達できると書いてあったので、自分は（６）を（３）の考え方で点Rに到達した時の運動エネルギー≧０となれば点Rを通過できる、すなわち点Bに到達できると思って、
まず、点Rでの速さＶ(R）を√｛gLー（１/２－２cosθ)}と求めて
１/２ｍＶ(R）^2≧０とやったら
cosθ≦１/４と出て
解答はcosθ≦１/８なんですが
何で違うのでしょうか？

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

点Rでの物体の速度を V(R) ≧ 0 としたのでは、V(R) = 0 も含まれてしまいます。ANo.1 さんのコメントにあるように、V(R) = 0 というのは、R 位置で物体をそっと離した場合です。それでは物体は真下に落ちるだけで点Bには到達しません。

物体が真下に落ちるとき、物体を離した瞬間から糸がたるみます。物体が点Bに到達するには、糸はたるんではいけません。糸がたるまないようにするには、物体が点Rを通過した瞬間に
　　　物体の遠心力（上向き） ≧ 重力（下向き）
となっていなければなりません。参考URLにあるように、速度 V(R)、半径 L/4 で円運動する物体の遠心力は m*V(R)^2/( L/4 ) 、重力は m*g ですから
　　　m*V(R)^2/( L/4 ) ≧ m*g
　　　→　V(R) ≧ √( g*L )/2
というのが、糸がたるまない条件になります（ V(R) ≧0 ではありません）。

V(R) = √{ g*L*( 1/2 - 2*cosθ ) } ですから
　　　√{ g*L*( 1/2 - 2*cosθ ) } ≧ √( g*L )/2
というのが、物体が点Bに到達する条件です。

参考URL：

http://homepage1.nifty.com/gfk/ensinryoku.htm

回答No.5

htms42

＃３です。

＃２の回答で正しいのです。ｃｏｓθ＝１／８です。
何か混乱させてしまったようですね。

私が書いたのは
ｃｏｓθ＝１／４を導いた前提となっている「点ＲでＶ＝０」という運動状態がありえないということです。それが分かれば何か別の条件を探すということに考えが向くはずだという意味で書いたのです。向心力（または遠心力）を考えに入れなければいけないと考え付く前にまず「点ＲでＶ＝０」という運動がありえないということが分かっていないといけないということです。

＞物体は点Ｒで速度 ０ となって自由落下するようです。
こういう運動がありえないと書いたのです。
円周に沿って上向きに上がって来るとＲで水平方向の運動になります。そこから突然自由落下に変われば９０°方向が変わってしまいます。糸の先についている物体の運動としてはありえないのです。
そういう運動が不可能だということで、もっと手前で糸がたるんでしまい、円運動が実現しなくなっているのではないのかという方向に考えが向くのです。糸がたるんだ後は放物運動になります。円周上のたるみ始める位置での接線方向に投げ出された放物運動です。この放物運動での最高点では運動エネルギー＞０です。だからもとの高さまで上がることは出来ないのです。
たるまないようにするためにはもっと高いところから落下させてやらなければいけないとなったところでＲを通過する条件として遠心力の表現が必要になってくるのです。

糸を使ったのでたるむということが起こりました。
たるまない材料であれば「点ＲでＶ＞０」が通過条件になります。遠心力を考える必要はありません。
「質量ｍの物体が長さＬの軽い棒の先に取り付けられて支点Ｏにぶら下がっている。この物体に水平方向の撃力を加えて初速度Ｖｏを与える。この物体がＯを中心とする円運動をするためにはＶｏがいくら以上でなければいけないか。」
というような問題の場合です。

回答No.4

inara1

ANo.3 さんありがとうございます。私も勘違いしていました。
点Q以降の運動を考えてみましたが、θ = 75.522度 のとき（ cosθ = 1/4 のとき）、物体は点Rで速度 0 となって自由落下するようです。

回答No.3

htms42

Ｂ点に達する条件はＲ点を通過する条件と同じです。
＃２の回答のとおりになります。

「Ｖ(Ｒ)＝０の時」についての補足です。
＃１、＃２の回答を読むとＲに達した後、真下に落ちるという風に質問者様が受け取る可能性があります。でもそんなことは起こりませんね。もしそうだとすると点Ｒで方向を直角に変える事になります。ありえない運動です。
点ＲでＶ＝０になると考えているのですから手を離す位置はＲと同じ高さです。Ｌｃｏｓθ＝Ｌ／４です。Ｑ点を通過することは出来ます。その後Ｒよりも手前で糸がたるんでしまうのです。Ｒには到達できません。
したがってＶ(Ｒ)＝０はありえない状態なのです。
放物運動の最高点でも同じですね。
斜めに投げた場合、最高点ではＶ＝０であるとすると間違いです。成り立つのはＶｙ＝０、Ｖｘ＞０です。Ｖ＝０とすると頂上から直角に方向を変えてポトンと落ちるという変な運動を想定していることになってしまいます。
円運動でもＶ(Ｒ)＝０という運動はありえないということがまず押さえられている必要があります。ではどういう条件であれば点Ｒを通過するという運動が実現するのかという問が出てきます。そこで遠心力（または向心力）に考えが及ぶ事になるのです。

回答No.1

owata-www

Ｒを通過したとして、その後円運動するとは限らないからです。

あなたの条件だと、Ｒではおもりの速度は０になります。つまり、糸がたるまないように物体を手で持ち上げ、Ｒに持っていき、そのまま手を離すと同じ条件になります。