• 締切済み

偏微分方程式が解けません。

f(S,t) = S・N(u/(σ√x ) +σ√x ) - X・e-γx・N(u/(σ√x ) )       u = log(S/X) + (γ-σ2/2)(T-t) この式をσ=に直していただけませんか? σを求めたいです。

みんなの回答

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.2

>Nはだたの係数です。 そうですか。 > u = log(S/X) + (γ-σ2/2)(T-t) のσ2はσ^2 のことですか? だとすると、σに関しては、普通の3次方程式になりますね。 3次方程式の解の公式を使えば、一応、σ= の形に書けるでしょう。

  • rabbit_cat
  • ベストアンサー率40% (829/2062)
回答No.1

どこに偏微分があるのか、よくわかりませんが。 とりあえず、単に、σについて解いてほしいだとしても、 N() という関数が何のか教えてくれなければ、解きようがないです。

math-math
質問者

補足

N,S,t、γは数値がいれられます。 これは、ブラックショールズモデルです。 ですので、偏微分方程式だと思いました。 本当は、f(S,t)を求めるための式なのですが、 逆にそれがわかっていて、σを求める式をもとめたいです。 ですので、Nはだたの係数です。 わかりにくくて申し訳ないです。

関連するQ&A

  • 微分方程式

    微分可能な関数f(x)が, ∫[0~x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0~x]tf(x-t)dt をみたしている. このとき, f(x)を求めよ. 与式の左辺をF(x), 右辺をG(x)とおくと, F(x)=G(x) ⇔ F'(x)=G'(x) かつ F(a)=G(a)となるような定数aが存在するー(※) F(0)=G(0)=0より, (※) ⇔ F'(x)=G'(x) h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると ∫[0~x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0~x]+∫[0~x]F(x-t)dt=-xF(0)-g(0)+g(x) より,与式の両辺をxで微分すると, f(x)=3x^2-6x+1+F(x)-F(0)=3x^2-6x+1+∫[0~x]f(t)dtー(1) 再びxで微分して, f'(x)=6x-6+f(x) f(x)=yとおくと, dy/dx=6x-6+y 6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u u≠0のとき,  du/u=dx ⇔∫du/u=∫dx ⇔log|u|=x+c (c:積分定数) ⇔u=±e^(x+c) ⇔y=±e^(x+c)-6x (1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0 ∴y=±e^x-6x また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると, -6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適. ∴f(x)=±e^x-6x 添削お願いします.

  • 偏微分方程式(その3)

    http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=104706 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=106836 からの続きの第3問です。 『前問で求めたΦ(ξ)に対応する(*)式の解u(x, t)を求め、その特徴を簡単に述べよ。また、νの変化にともなう解u(x,t)の変化を説明せよ。』 まずu(x, t)ですが、 u = (∂Ψ/∂x) = (∂/∂x)(-2νlogφ) = -2ν(1/φ)(∂φ/∂x) = -2ν(1/Φ)Φ'(∂ξ/∂x) = -2ν[-(c/2ν) e^{-(c/ν)ξ}] / [(1/2){e^{-(c/ν)ξ} + 1}] = 2c / [1 + e^{(c/ν)(x-ct)}] と求められた(合ってるかどうかは別)のですが、これの特徴をいえと言われても…。 νが変化するとuのx-ctに対する鋭敏さが変わってくるとかそういう事なのかなー?? それじゃ答えになっていない気がしますし。 よく分かりません。よろしくお願いします。

  • 偏微分方程式の問題です。

    ・問題 u=u(t,x) u_t=ku_{xx} k>0 (0<x<1,t>0) 初期条件 u(0,x) sin(πx)+1/2sin(3πx) 境界条件 u(t,0)=u(t,1)=0 ・答え 境界条件より正弦級数展開をする. (☆)u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(t)sin(nπx) (★)b_n(t)=2∫_0^1u(t,x)sin(nπx)dx すると, u_t=Σ_{n=1}^∞{db_n(t)/dt}sin(nπx) ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2 =Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx) u_t=ku_{xx}より db_n(t)/dt=b_n(t)k(-nπ)^2=-n^2π^2kb_n(t) ∴b_n(t)=b_n(0)e^{-n^2π^2kt} ☆に代入して (☆☆)u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)e^{-n^2π^2kt}sin(nπx) ∴u(0,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)sin(nπx) これと初期条件u(0,x)=sin(πx)+(1/2)sin(3πx)を係数比較して b_1(0)=1,b_3(0)=1/2,b_n(0)=0(n≠1,3) ☆☆に代入して ∴u(t,x)=e^{-π^2kt}sin(πx)+(1/2)e^{-9π^2kt}sin(3πx)(答) ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 以前、上記の問題をここで質問し、解答を頂いたのですが、この部分の途中式がどうしてもわかりません。 ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2 =Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx) お手数ですが宜しくお願い致します!

  • 常微分方程式

    常微分方程式の定義が良くわかりません。 ウィキペディアの常微分方程式の定義を見ますと、 F(t,x(t),x'(t),...,x(n-1)(t),x(n)(t))=0 と書かれています。 なお、x(n)はxのn階の意味です。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F すると、x(t)のn乗や定数項が含まれる式は常微分方程式ではないのでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 偏微分方程式

    ある大学院の過去問なんですが、小問が3つあるんですが、まず1つ目について教えてください。 『次のような u(x, t) に関する偏微分方程式を考える。     ∂u/∂t + u ∂u/∂x = ν ∂^2 u/∂x^2    (*) ここで、νは正の定数である。この時以下の問いに答えよ。 (1) (*)式に ψ(x, t) と φ(x, t) を用いた2段階の変換     i. u = ∂ψ/∂x     ii. ψ = αlogφ を行ない、定数αを適当に選ぶと φ(x, t) に関する線型方程式     ∂φ/∂t = ν ∂^2 φ/∂x^2    (**) が得られることを示せ。また、そのときのαを求めよ。』 と言う問題です。 変換i. ii. を行なってφの偏微分方程式には出来るのですが(合ってるかどうかは別問題) αをどう取っても(**)になりそうにないんです。(ってことは合ってないって事?) やったのは     u = ∂ψ/∂x = (∂/∂x)(αlogφ) = (α/φ)(∂φ/∂x)     ∂u/∂t = (∂/∂t){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂t)(∂φ/∂x) + (α/φ)(∂^2 φ/∂t∂x)     ∂u/∂x = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)     u(∂u/∂x) = (α/φ)(∂φ/∂x){-(α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2 φ/∂x^2)}         = -(α^2/φ^3)(∂φ/∂x)^3 + (α/φ)^2(∂φ/∂x)(∂^2φ/∂x^2)     ∂^2u/∂x^2 = (∂/∂x){(α/φ)(∂φ/∂x)} = -(2α/φ^2)(∂φ/∂x)^2 + (α/φ)(∂^2φ/∂x^2) までなんですが、これを(*)に代入するとすごい事になってとても(**)にたどり着けそうにないんです。 ここまでで既に間違ってるんでしょうか?それともこの状態でαを適当に選べば(**)が導けるんでしょうか? よろしくお願いします。

  • 偏微分方程式

    この問題の解き方を教えて下さい. 「∂u/∂x - ∂u/∂y = 0 , u(x , 0) = x^2 + 2x v(s , t) = u(s + t, s - t)とおいてu(x , y)を求めよ.」 <解いたやり方> s = (x + y)/2 , t=(x - y)/2 ∂v/∂s = (∂u/∂x )*1 + (∂u/∂y )*1 ここから先の考え方を教えて下さい。

  • 微分方程式論について

    微分方程式論について (1) 関数族{f_n|n=2,3,...} f_n:[0,1]→R f_n=(n^2)x (0≦x≦1/n) f_n=-(n^2)x+2n (1/n≦x≦2/n) f_n=0 (2/n≦x≦1) このとき、{f_n}はいかなる関数にも一様収束しないことをε論法で示せ (2) f:R×R≧0→R f(x,y)=√yと初期値問題 dy/dx=f(x,y) y(0)=0・・・(*)について (1)f(x,y)はyに関して局所リプシッツ連続ではないことをε論法で示せ (2)定数c≧0に対して、関数 y_c:R→R≧0 y_c(x)=0 (x≦c) y_c(x)=1/4(x-c)^2 (x>c) は(*)の解であることを示せ (3) Gronwallの不等式{f,g,uは区間I上の連続関数でg(x)≧0とする} u(x)≦f(x)+∫_(x_0→x)g(t)u(t)dt (x>x_0) ⇒ u(x)≦f(x)+∫_(x_0→x)g(t)u(t)exp{∫_(t→x)g(s)ds}dt (x>x_0) を示せ。また、f(x)が非減少関数 ⇒ u(x)≦f(x)exp{∫_(x_0→x)g(t)dt} (x>x_0) を示せ (4) 初期値問題 dy/dx=y y(0)=a についてPicardの逐次近似法により、解を具体的に構成せよ ただし、y(x)の定義域については考えなくてよい これらの解法を教えてください! わからなくて困っています…

  • 無限領域での波動方程式の計算に出てくる偏微分方程式

    波動方程式の計算に出てくる、偏微分方程式の解の計算方法が分かりません。 本から引用します: ここで、弦を伝わる波の問題などで使われる波動方程式 { (∂^2) u(x,t) } / (∂t^2) - c^2 * { (∂^2) u(x,t) } / (∂x^2) = 0 (式7.33) を考えてみよう。ここで、u(x,t)は座標xの位置での時刻tにおける弦の変位を表わし、cは正の定数とする。そして、∞に長い弦を考え(すなわち、-∞<x<∞の範囲で考え)、境界条件は、すべての t>=0 に対して u(x,t)→0 (式7.34) (x→±∞) を満たすとする。つまり、無限遠では波が存在しないとする。更に初期条件は u(x,0) = f(x) { ∂u(x,t) } / ∂t |t=0 = 0 (式7.35) とし、ここでf(x)は x→±∞ で0に近付く絶対可積分な関数であるとする。また、上式の縦棒(|)の後のt=0は、「t=0での偏微分の値」という意味である。(式7.35)のように初期条件として2つの式を与えるのは、(式7.33)がtについて2階の微分方程式だからである。今の場合、xの無限領域での関数u(x,t)を取り扱うので、フーリエ変換を使った解法を用いればよい。 例題 初期条件(式7.35)と境界条件(式7.34)を満たす(式7.33)の解を求めよ。 [解] u(x,t)のxについてのフーリエ変換を F(k,t) = ∫[-∞,∞] u(x,t) e^(-ikx) dx (式7.36) と表す。(式7.33)にe^(-ikx)を掛け、xについて-∞から∞まで積分すると、熱伝導方程式(式7.20)を導いたときと同様な考え方から、 { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 (式7.37) ←質問箇所 を得る。この微分方程式の解は、 F(k,t) = C[1](k) e^(ickt) + C[2](k) e^(-ickt) (式7.38) ←これをどう導いたのかが不明 であることが、代入すれば確かめられる。ここで、C[1](k)、C[2](k)は任意のkの関数で ある。 ・・・以上、引用終わり。 私は偏微分方程式自体、変数分離とかいう方法でサラッとやっただけで、上記の方法は見たことがありません。ネットで検索しましたが、同様の式を見つけることが出来ませんでした。そんな私が敢えて解こうとすると: { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) + (c^2) * (k^2) * F(k,t) = 0 第2項を右辺に移項する { (∂^2)F(k,t) } / (∂t^2) = - (c^2) * (k^2) * F(k,t) 左辺の(∂t^2)と右辺のF(k,t)を交換する { (∂^2)F(k,t) } / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * (∂t^2) 両辺をtで積分する(もう既に未知の領域…きっと2乗が減って1乗になるのでしょう…) ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * ∫(1)(∂t^2) ln{F(k,t)} * {∂F(k,t)} / F(k,t) = - (c^2) * (k^2) * t (∂t) + C[1](k) もう一度両辺をtで積分するだろう雰囲気を漂わせたところでやめておきます。 もしかしたらln{F(k,t)}を積分しなければならないのでは、と思ったら思考が停止しました。多分、既に間違っているのでしょう。 …ということで、この偏微分方程式の解き方を教えて下さい。お願いします。

  • 波動方程式について

    wikibookの http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA のページにあるu(x,t)=f(x+vt)+g(x-vt)を f(x+vt)=1/2(u(x,t)-v*∫(∂u(x,t)/∂x)dt) に変換する過程の式を教えてください.この式はwikibookには書いていませんが分かる方お願いします. また,もう一つお聞きたいのですが (1/v^2)*(∂^2u(x,t)/∂t^2) を積分すると単純に (1/v^2)*(∂u(x,t)/∂t) となりますか?なるとうれしいのですが. 式が見難いとは思いますが上記ふたつについて回答お願いします.

  • 微分方程式

    微分方程式 dx/dt=2x・・・(1) x(0)=5・・・(2) に関してわからないことがあるので質問します。 (1)よりx=x(t)で tが0のときxは5、ここで 1/(dx/dt)=1/(2x)=dt/dx ・・・(3) よりt=t(x)となり、上記のxとtの関係から、0=t(5)と置け、(3)の中央と右の辺をxで定積分して、∫(5→x)1/(2x)dx=∫(5→x)(dt/dx)dx より 1/2(logx-log5)=∫(5→x)dt ∴ 1/2log(x/5)=t(x)-t(5) ここからがわからないところですが、1/2log(x/5)+0=t(x)=t と解説にはのっており、この左辺の0は、自分の計算どうり、∫(5→x)dt の下端からできたものなのかはっきりしません。間違っていたら訂正おねがいします。 続けて、log(x/5)=2t よって x=5e^2t 二つ目のわからないところは、微分方程式の解はtが1増えるごとに、xは何倍になるかを問われたのですが 自分の計算では、{{5e^2(t+1)}-5e^2t}/(t+1-t)で5e^2t(e^2-1)倍でしたが、答えはe^2倍でした。 どなたか自分の考えを訂正してください。おねがいします。