曲がった空間でのベクトル演算

質問

div, rot, gradなどのベクトル解析に出てくる諸々の表現ですが、初学者としては直交デカルト座標という特殊な座標系での定義として覚えるものと思います（そして覚えこんでしまうわけです）。一方、曲がった空間でもそれらの定義があるわけですが、曲線座標というのはその特殊なものとして直交デカルト座標を含みますので、直交デカルト座標で、”こうだ”と覚えこんだ定義を一旦忘れてもいいのでしょうか。
人による、というのが答えだろうと思いますが。とにかく曲線座標の表現から直交デカルト座標での表現が演繹されると考えて良いでしょうか。
私としては初学者でも曲線座標系から始めて欲しいところですが、大多数の人はそこまで要らないということになるのかとは思いますが。

回答No.2

mtaka_2007

曲がった空間というので、一般相対論でのテンソルかと思いましたが、円柱座標や球座標でのベクトル演算と思います。量子力学を学習するとき、必ず球座標でのベクトル演算が出てきます。英語のApplied Mathematicsとかの本にこれらの座標でのベクトル演算の表式を統一的に求める方法が出ていたと思います。

お礼

回答有難うございます。
標題の”曲がった空間”という言い方は誤解を誘発しそうです。済みません。直交曲線座標、一般曲線座標などの座標系でのベクトル演算子とか方程式の書き換えの問題です。こういう問題は空間が曲がっているというより、曲がった座標系から見た演算子の表現という意味です。ベクトルの実体としては直交デカルト座標で表現できるものです。

回答No.1

ojisan7

>曲線座標の表現から直交デカルト座標での表現が導かれると考えて良いか。

そう考えていいと思います。このことは実際にご自分で容易に確認できますね。ただし、３次元で、発散演算子は反変べクトルに、回転演算子は共変ベクトルに、勾配演算子はスカラーにそれぞれ作用することが分かっていれば、簡単ですね。ついでに、div gradがラプラシアンになることも確認しておきましょう。

お礼

回答有難うございました。
直交デカルト座標は特殊な座標であり、そこで学んだ後にさらに一般化した座標系に行くことは言わば、川下から川上に上るような困難を感じます。一般から特殊への移行（川上から川下）は簡単ですが、特殊から一般へ移行する（川下から川上）ことは難しいですね。