主成分分析で「総合力」を求めてみた。（因子負荷量の符号を勝手に反転しても良かですかｗ）

質問

初質問です。
会社で作業員の能力をランキングすることになり、ネットで調べたら主成分分析を使って野球選手の「総合力」を求めている例などをよく見かけます。
主成分分析で必ずしも総合力が求まるわけではないという事も分かりました。
第１主成分のすべての”因子負荷量”が正のときなら「総合力」を表していると解釈しやすいのですが…。
例えば
英語と国語の２変量で正の相関のときなら→第１主成分でランキング。
英語と数学の２変量で負の相関のときなら→第２主成分でランキング。
では、英国数の３変量だとランキングは出来ないの？

　　第１主成分
英　　 0.62
国　　 0.55
数　　-0.55

３Dグラフを作成し眺めてたら、数学の因子負荷量の符号を反転させれば欲しい軸になるのにな～と思い、同僚に感想を求めると
「それは主成分分析じゃなくなるのでは？」
と言われました。
そこで皆さんにこの方法が数学的に(?)間違っているのか教えていただきたいと思い筆を…(ry

回答No.2

backs

符号を逆転させて、軸（主成分）の解釈をするのは分析者の自由です。

主成分分析において軸を回転させることも可能です（分析者の考えがあって、特別な場合以外はまずしませんが）。

>　英・数の２変量で負相関　→　第２主成分が"総合力"を表す
>　第１主成分軸があり、負相関だったので第１主成分軸と直交方向が総合力のはず…

なぜそのような解釈ができるのか、私には分かりませんが。。。

>　・・・のように英語に対して軸を反転(?)させるようにした!?

よく意味が分かりません。

そもそも最初の結果について、符合を逆転させる必要も因子軸を回転させる必要もないでしょう。

　　　Z1 = 0.62*Eng + 0.55*Jap - 0.55*Math

という結果から、合成変量（主成分）は言語能力を表している変量だと解釈できるからです。符号を逆転させれば、

　　　Z1' = - 0.62*Eng - 0.55*Jap + 0.55*Math

となり、これは逆に数処理能力とでも解釈できるでしょう。質問者さんのいうように、仮に全ての符号がプラスあるいはマイナスならば総合力と解釈することもできなくはありませんが、少なくとも今回のデータセットからはそのような解釈はできないということでしょう。

回答No.1

backs

一応、主成分分析においては「因子負荷量」とはいわず「主成分負荷量」といいますね。主成分分析と因子分析は全く別のモデルなので、、、

それで、符号のことについてですが符号を逆転させても問題ありません。だから{-0.62, -0.55, 0.55}と解釈しても良いのです。使用するソフトウェア（つまり採用しているアルゴリズムが異なるということですが）によって符号が変わってくるものです。

ただし、（念のため言っておきますが）当たり前ですが任意の変数についてのみ符号を変えて解釈するのは間違いですよ。例えば、{-0.62, 0.55, -0.55}などと解釈するのは間違いということです。

お礼

お答えをいただけると嬉しいです。
ありがとう御座います。

ただ、私が思っているのは、

　　英・数の２変量で負相関　→　第２主成分が"総合力"を表す

というのは、たまたま(?)２変量しかなかったから必然的に第１主成分軸と直交方向に
採られる第２主成分の方向が"総合力"と捉えられたものと考えています。

まず第１主成分軸があり、負相関だったので第１主成分軸と直交方向が総合力のはず…
　…あっ第２主成分軸でイイじゃん！　
って発想なのかなと。

　　第１主成分　第２主成分
英　　 0.707　　　0.707
数　　-0.707　　　0.707

この第２主成分を採用したのではなく、

　　ABS(第１主成分)　
英　　 0.707
数　　 0.707

のように英語に対して軸を反転(?)させるようにした!?（結果的には同じ数値。）

つまり、"総合力"などというものを考えるならば、データの分布を最もよく表す第１主成分
から発想すべきなんじゃないかと思ったわけで…。

主成分分析にも"回転"があるとのことで、回転については知らないのですが、
上記のような事は"回転"とは違う概念なんですよね！？