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ε-δ論法の例題について
ε-δ論法を用いる簡単な例題で lim 1/x = 1/a になることを証明せよ。 x→a というもので、解説は↓ ――――――――――――――――――――――――――――― |x - a|<|a|/ 2 ならば |x|>|a|/ 2 だから、このとき (1) |1/x - 1/a| = |x - a| / (|x|-|a|) (2) ≦ 2|x - a| / |a|^2 (3) 2|x - a| / |a|^2 < ε とおくと |x - a|< (|a|^2)ε / 2 。 (4) したがって δ = (|a|^2)ε / 2 ∧ |a|/ 2 とおくと (5) 0 <|x - a|< δ のとき、 (6) |x - a|<|a|/ 2 かつ、|x - a|<(|a|^2)ε / 2 だから、 (7) |1/x - 1/a|< ε , ε > 0 は任意だから、 (8) lim 1/x = 1/a (9) x→a である。 *「 a ∧ b 」= 「実数aと実数bの小さい方」 ――――――――――――――――――――――――――――― とかいてあるのですが、 (1)の『|x - a|<|a|/ 2 ならば |x|>|a|/ 2 だから・・・』 とする意味がよくわかりません・・・。 どうしても 『じゃあ|x - a|>|a|/ 2 のときはどうすんだ?』 って思ってしまいます;; それと(5)の『δ = (|a|^2)ε / 2 ∧ |a|/ 2 とおくと』 とする意味もよくわかりません;; たぶん私の解釈がおかしくて、質問が変なものになっているかもしれませんが、わかりやすく解説してくれる方、いたら本当によろしくおねがいします>< ちなみにε-δ論法についてはどういう風に示せば証明したことになるか、という事はだいたいわかります。 でもこの問題については全体的によくいまいちわからなくて・・・
- rousei
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- 数学・算数
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普通…、 「任意のε>0に対してP」は、「ε>0を仮定すると、P」を証明します。 「次のようなδ>0が存在する:Q」は、「あるδに対して、Q」を証明します。 このことを踏まえて、証明をよく読むと、 1.ε>0を仮定する。* 2.具体的なδを構成する。 3.xは|x-a|<δを仮定する。 4.|1/x-1/a|<εを証明する。 5.「xは任意(ただし|x-a|<δ)だった」 ことを理由に、「任意のx(ただし|x-a|<δ)に対して、 |1/x-1/a|<ε」の証明終わり。* 6.事実δは、あったのだから「次のようなδ>0が存在する: 任意のx(|x-a|<δ)に対して、…」の証明終わり。* 7.「εは任意だった」と言いつつ、「任意のε>0に対して…」の 証明終わり。 となってます(*は、行間を読んでください)。 機械的ですね。 …と私は、理解しています。
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- jmh
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> 「∧ |a|/ 2」 > がなんで必要なのかがわからないです;; > a=1、ε=10のときを考えてください。 εは任意>0ですよ。
- jmh
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> でもこの問題については全体的によくいまいちわからなくて・・・ > この証明は全体としては、次の主張を証明しています: (∀ε>0)(∀x:|x-a|<(((|a|^2)ε/2)∧(|a|/2))) (|1/x-1/a|<ε) これを証明することによって、より弱い主張: (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x:|x-a|<δ)(|1/x-1/a|<ε) は証明できましたと言っています。
- kusokuzeshiki
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(5)でδを天下り的というか突然決めていますが、(1)から(4)はその導入でしょう。極端な話、(5)と違う式でδを表現し、すべての正数εに対して(8)の式が言えてもいいと思います。その場合(1)から(4)も変わるでしょうし、本によっては「明らかに」と流すのでしょうね。この論法の難しいところは、論法そのものよりもδのとり方でしょうね。
お礼
ありがとうございます! おっしゃるとおり、δの取り方がなかなかわからないんですよね(笑)
- uyama33
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(1)の『|x - a|<|a|/ 2 ならば |x|>|a|/ 2 だから・・・』 とする意味がよくわかりません・・・。 どうしても 『じゃあ|x - a|>|a|/ 2 のときはどうすんだ?』 って思ってしまいます;; これは、 x が a に近いときだけ考えればいいのだから、 遠くの場合は気にしない。 ということです。 それと(5)の『δ = (|a|^2)ε / 2 ∧ |a|/ 2 とおくと』 とする意味もよくわかりません;; これは、一様連続ではないから ということですが、 簡単に言うと、 デルタは、与えられた a の値とイプシロンから自分で決定するのです。 ここでは、その具体的な決め方が書いてあるのです。 がんばてね。
補足
早い返答ありがとうございました^^ なんとかわかったんですが、 『δ = (|a|^2)ε / 2 ∧ |a|/ 2 とおくと』 の 「∧ |a|/ 2」 がなんで必要なのかがわからないです;;
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