有界な単調数列の証明（再掲）

質問

こちらの皆様のご指導のもと、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
証明が変なところがあれば、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は
有界な単調数列であるか？
理由とともに、単調な場合には、
単調増加であるか単調減少であるかについても求めよ。

【証明】
まず、有界かどうかについて証明する。
n→∞とすると、
lim[n→∞] { 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }
=lim[n→∞] (n-1+2-1)/(n+1)
=lim[n→∞] 1-2/(n+1)=1
よって、有界。

つぎに単調増加について証明する。
(n-1)/(n+1) = (n+1-2)/(n+1) = 1-2/(n+1)と変形させることにより、
1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単減少であることより、-2/(n+1)は単調増加。
よって、1-2/(n+1)も単調増加であることが証明される。
∴数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は、
有界な単調増加である。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

かなり微妙な証明・・・・

>よって、有界。
善意に解釈すれば「収束する数列は有界」という
事実を使っているとみなせるので
論理的には間違ってないのだが・・・
この前半部分はまったく不要だから
出題者からみれば
「論理的には間違ってはいないが
内容はまったく理解していない．」としか見えないだろう．

>つぎに単調増加について証明する。
この後半部分だけで問題の解答になっているんだが，
それに気がついていないし，
さらに余計な前半部分があるために
ますます「内容を理解していない」としか見えないだろう．

お礼

ご指摘ありがとうございます。
単調数列の証明だけでよかったんですね。
おっしゃるように、単調数列と収束の証明を
ごっちゃまぜに考えておりました。
知っていてあたりまえの基本的な間違いにもかかわらず、
親切に回答いただきありがとうございました。

補足

ご指摘の通り、前半部分をカットしました。
この回答なら、okでしょうか？

【証明】
(n-1)/(n+1) = (n+1-2)/(n+1) = 1-2/(n+1)と変形させることにより、
1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単減少であることより、-2/(n+1)は単調増加。
よって、1-2/(n+1)も単調増加であることが証明される。
∴数列{ 1-(1/n) }/{ 1+(1/n} }[n=1,2,3,...]は、
有界な単調増加である。

回答No.1

Tacosan

順序を変えれば「上に有界」であることの証明になるけど, 今の順番ではその有界の証明はほとんど無意味では?

お礼

ご指摘ありがとうございます。
ということは、単調数列の証明だけすればよかったんですね。
上の方もおっしゃっていたように、単調数列と収束の証明を
ごっちゃに考えておりました。
初歩的なミスにもかかわらず、親切に回答いただきありがとうございました。