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回答（15件中 1～5件目)
No.14 の続き：
境界条件 p[n,-1] = 0 を使って、m が小さいほうから順に求めてゆくと、
どうやら、p[n,m] = f_m(n) α^n + g_m(n) β^n と表せそうです。
ただし、α, β は、p[n,0] の特性方程式 x^2 - x + 1/9 = 0 の両解、
f_m( ), g_m( ) は、各 m ごとに定まる m 次多項式です。
α > β とすると、0 < -β < α < 1 が成り立つので、
n が大きくなると、f_m( ) の最高次項の係数を A[m] と置いて、
p[n,m] ≒ A[m] (n^m) (α^n) で近似できそうです。
近似の精度は、n の桁数くらいかな。
A[m] (α^2 - 1/9) m = A[m-1] という漸化式も得られますから、
A[m] = A[0] / { (m!) (α^2 - 1/9)^m } を上の式へ代入して…
投稿日時 - 2008-11-12 21:31:16
途中経過報告：
「表」「裏」「立」のカードを n 枚一列に並べて、
「表」の次が「裏」である組が m 回現われる並べ方
が s[n,m] 通り、その内で、
最後が「表」であるものが a[n,m] 通り、
最後が「裏」であるものが b[n,m] 通り、
最後が「立」であるものが c[n,m] 通りであると置く。
s[n,m] = a[n,m] + b[n,m] + c[n,m] が成り立つ。
n 枚並んでいる末尾に、もう一枚カードを付け足す
ことを考えると、
a[n+1,m] = a[n,m] + b[n,m] + c[n,m]
b[n+1,m] = a[n,m-1] + b[n,m] + c[n,m]
c[n+1,m] = a[n,m] + b[n,m] + c[n,m]
であることが分かる。
この式から、a[], b[], c[] を消去すると、
s[n+1,m] = 3 s[n,m] - s[n-1,m] + s[n-1,m-1]
が得られる。
「表」「裏」「立」が、毎回確率 1/3 づつで現われる
とするとき、「表」の次が「裏」である組が m 回現われる
確率を p[n,m] と置くと、p[n,m] = s[n,m] / 3^n だから、
p[n+1,m] - p[n,m] = (-1/9){ p[n-1,m] - p[n-1,m-1] }
と整理できる。
…しかし、この漸化式は、
微分方程式 (∂/∂t) p(t,x) = (-1/9) (∂/∂x) p(t,x)
のように簡単ではない。
投稿日時 - 2008-11-05 14:16:45
確率には、統計的確率と数理的確率があります。
中学・高校で勉強する確率は数理的確率で、コインの表が出ることも裏が出ることも同じくらいの割合で発生することを前提にして計算します。
もし、机の上にそっとコインを置くならば、「立つ」ということもあり得ますが、それはもう人間の意志によってどうにでもなる状態ですから、確率を計算する意味はありません。
通常「投げる」という動作では「立つ」場合は無視するわけです。
それでも実用上問題はないと考えるのが普通です。
初歩的な数理的確率では、表裏の出る確率はどちらも同じ(1/2)です。
２回の試行で４通りの出方があり、その中で「表→裏」という出方は１通りですから、確率は1/4と計算します。
５０００回の試行の中には、４９９９セットの「２回連続の試行」が含まれますから、期待値は４９９９×０．２５＝1249.75回で、これより今回の出方は多めだったということですね。
逆に、統計的確率の立場からは、確率は１４００／５０００＝約0.28
となり、「そういうクセを持ったイカサマコイン」という判断をするのかもしれません。
投稿日時 - 2008-11-03 19:29:29
