極限値の問題

質問

以下の解き方であっているかわかる方
ご指南お願いします。

lim{x→0}sin2x/x

0<x<π/2のときの面積から、(sin x)/2 < x < (tan x)/2

両辺に２を掛けて、逆数をとる。
cot x < 1/x < cosec x

さらに両辺にsin xを掛ける。
cos x < (sin x)/x < 1

はさみうちの原理より
lim{x→0}sin2x/x→1

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

lim{x→0}sinx/x　＝　１
を利用すればよいのでは？

ｙ＝２ｘ　と置いて

lim{x→0}sin(２ｘ)／ｘ　＝　lim{ｙ→0}sinｙ／（ｙ／２）
　＝　lim{ｙ→0}２（sinｙ／ｙ）
　＝　２

お礼

ありがとうございます。
sanoriさんの回答が一番よくわかりました。

回答No.3

orcus0930

No1の方の解き方で解くのが普通かと思いますが、
(sinx)/x→0を使わないなら、

> 0<x<π/2のときの面積から、(sin x)/2 < x < (tan x)/2
ここが間違ってますね。

0 < x < π/4　で
sin(2x) < 2x < tan(2x)　が正しいですね。
あとは、
cot(2x) < 1/2x < cosec(2x)
cos(2x) < 1/2 * sin(2x)/x < 1
ここから挟み撃ちで、左側が1に行くので、
1/2 * sin(2x)/x → 1
sin(2x)/x → 2

になりますね。

お礼

ご指摘ありがとうございます。
ちょっとごっちゃにしていたようです。
おかげで、ミスした原因もわかりました。

回答No.2

fukuda-h

＞cos x < (sin x)/x < 1と
＞はさみうちの原理より
＞lim{x→0}sin2x/x→1
は全然関係ないのではないですか
sin2x=2sinxcosxですから証明になってないですね。
前半は
lim{x→0}sinx/x=１の証明ですから
lim{x→0}sin2x/x＝２lim{x→0}sin2x/２x＝２ですね

お礼

ミスのご指摘、ありがとうございます。
大変わかりやすい説明で、助かります。
みなさんの回答がどれも素晴らしく、全員にポイントをあげれないのを申し訳なく思ってます。
気持ち的には、全員20点つけたいです。
大変、お世話になりました。