フーリエ級数について

質問

こんにちは。フーリエ級数展開について質問です。質問は以下の二つです。よろしくお願いします。

(1)　式(*)を使って任意の連続なf(x,y)に収束させる事ができるのでしょうか。ただし、f(x,y)は f(x-nω,y-nω)=f(x,y) を満たすような関数です。

nは自然数、ωはf(x,y)の基本周波数である。
f(x,y)=A_0+Σ(n=1→n=∞) { A_n sin(nωxcos(θ_n)-nωysin(θ_n)+a_n)+B_n sin(nωxsin(θ_n)+nωycos(θ_n)+b_n) }・・・(*)

(*)のシグマの中は
A_n sin(nωx+a_n)+B_n sin(nωy+b_n) ・・・(*')
をθ_n回転させた物です。(*')だけでは回転したものは描けなさそうに思えたので。一応すべてのnに関して互いに直交しているとは思います。

(2)　普通、フーリエ級数展開と言えばsinとcosの足しあわせですが、なぜこれで全ての連続な周期関数に収束させる事ができるといえるのでしょうか。つまり、sinとcosで描けない周期関数は存在しないとどのように保証するのでしょうか。

質問の背景------------------------------------------------------

　(1)ようは二変数のフーリエ級数展開をしたいのですが、その展開式がわからないので考えました。その結果(*)を思いつくにいたりましたが、これでいいのか不安なので質問しました。
　(2)に関しては興味本位の質問です。最近線形代数の授業が始まりだし、一時独立や基底などを少しやりましたが、関数は無限次元のベクトルと言えるので、その基底の数も無限ですよね？有限次元のベクトル空間ならば次元と一次独立なベクトルの数を合わせることで基底だといえますが、無限ならそうはいえないと思うのです。したがって三角関数だけでは描けない関数ベクトルが存在する可能性があるように思います。
　(2)の答えがわかれば(1)の答えも自分で考える事ができるかもしれないのですが・・・。

　参考になりそうなサイトの紹介だけでも大変うれしいです。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#161582 · ベストアンサー

(2)ですが
一般に直交関数系を{u_n(x)}としたとき(nは添字)、完全性の関係

Σu_n(x)*u_n(y)=δ(x-y)　(nについて和をとる)　・・・(イ)

を示せば良いのではないでしょうか。
(今は実関数ですが、複素関数の場合にはどちらかのu_nは複素共役)

(イ)が成り立てば、任意の関数f(x)は

f(x)=∫δ(x-y)f(y)dy=∫[Σu_n(x)*u_n(y)]f(y)dy

=Σu_n(x)∫u_n(y)f(y)dy ・・・(ロ)

と書けます。

ここで

a_n=∫u_n(y)f(y)dy ・・・(ハ)

とおけば、任意の関数f(x)は直交関数系{u_n(x)}により

f(x)=Σa_n*u_n(x) ・・・(ニ)

と展開可能です。

お礼

わかりやすい回答をありがとうございます。よくわかりました。「完全性の関係」、初めて知りました。手元にある線形代数の本には載ってないようです。こういう話は解析学になるんでしょうか？なにはともあれ、おかげさまで完全性が成り立つように関数列を選べば級数展開できる事がはっきりしましたので、（1）は2変数に拡張されているとはいえ、自力でがんばることにします。名答でした。