合成抵抗

質問

理科で１Ωの抵抗をいくつか使って1．2Ωの合成抵抗をつくるときにどのうような回路になるか、但し抵抗の数はなるべく少なくすること。という問題を出されましたが、解き方がイマイチわかりません。答えは『5つの抵抗を　2個直列　と　3個直列を並列につなげる。』でした。答えを知ってなるほどと思ったのですが・・・。ちなみに私は　１つの抵抗　と　5つの並列につなげた抵抗　を直列につなげて答えは6つと出しました。似たような問題が出たときに正しい答えを出す自信がありません。どうか、確実に正しい解を出せるような解き方を教えてください。
宜しくお願いします。

回答No.3

yokkun831

1.2Ωは1Ωとちょっとというのが大きなヒントになります。
まず1Ω1本を直列として用いる場合，残り0.2Ωは並列で作るしか
なく，lameretlecさんのものが最小本数になります。
次に1Ω0本を直列として用いる（すなわち直列を使わない）場合，
1Ωは(1Ω+1Ω)の並列でできますから，あとちょっと（0.2Ω)を
並列の内部でかせぐというのは自然な考え方の順序でしょう。
すると2Ωと3Ωの並列というのが第２案としてただちに浮上します。
これが最小本数であることはほぼ自明に思えます。

また，1.2=6/5というのも重要なヒントです。並列接続の公式から
1/m+1/nが5/6になる組み合わせはすぐに浮かびませんか？

数学的にはもっと複雑な一般の場合にもエレガントに解ける手順
があろうかと思われますが，この程度の問題なら上のようにつぶ
していくのがいいのではないでしょうか？

もちろんANo.2さんの方法でも，場合わけで計算するまでもない
部分も多いので，それをショートカットして進めれば，見た目
よりは簡単に結果にたどりつけると思います。

お礼

大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

mtaka2

「最小」ではなく「なるべく少なく」なら、質問者さんの答えでも間違いではないですし、
この手の問題は、パズル的に「知っていたら解ける」というか「気づいたら解ける」という面がありますが、、

「最小」となる組合せを求める、となると、総当たりしかないですね。

・抵抗を1本だけ使う場合
　→出来る抵抗値は1Ωだけ。

・抵抗を2本使う場合
　→作れる抵抗値は並列と直列で、1/2Ωと、2Ωの2種類

・抵抗を3本使う場合
　1本(1Ω)と2本(1/2Ω、2Ω)の並列で、1/3Ω、2/3Ω
　1本(1Ω)と2本(1/2Ω、2Ω)の直列で、3/2Ω、3Ω
　→3本の抵抗で作れる抵抗値は、1/3Ω、2/3Ω、3/2Ω、3Ωの4種類

・抵抗を4本使う場合
　1本(1Ω)と3本(1/3Ω、2/3Ω、3/2Ω、3Ω)の並列で、1/4Ω、2/5Ω、3/5Ω、3/4Ω
　1本(1Ω)と3本(1/3Ω、2/3Ω、3/2Ω、3Ω)の直列で、4/3Ω、5/3Ω、5/2Ω、4Ω
　2本(1/2Ωと、2Ω)と2本(1/2Ωと、2Ω)との並列で、1/4Ω、2/5Ω、1Ω
　2本(1/2Ωと、2Ω)と2本(1/2Ωと、2Ω)との並列で、1Ω、5/2Ω、4Ω
　→4本の抵抗で作れる抵抗値は、1/4Ω、2/5Ω、3/5Ω、3/4Ω、1Ω、4/3Ω、5/3Ω、5/2Ω、4Ω の9通り

・抵抗を5本使う場合
　1本(1Ω)と4本(1/4Ω～4Ω)の並列で1/5Ω、2/7Ω、3/8Ω、3/7Ω、1/2Ω、4/7Ω、5/8Ω、5/7Ω、4/5Ω、
　1本(1Ω)と4本(1/4Ω～4Ω)の直列で5/4Ω、7/5Ω、8/5Ω、7/4Ω、2Ω、7/3Ω、8/3Ω、7/2Ω、5Ω
　2本(1/2Ωと、2Ω)と3本(1/3Ω、2/3Ω、3/2Ω、3Ω)の並列で
　　　　1/5Ω、2/7Ω、3/8Ω、3/7Ω、
　　　　2/7Ω、1/2Ω、6/7Ω、6/5Ω
　2本(1/2Ωと、2Ω)と3本(1/3Ω、2/3Ω、3/2Ω、3Ω)の直列で
　　　　5/6Ω、7/6Ω、2Ω、7/2Ω、
　　　　4/3Ω、8/3Ω、7/2Ω、5Ω

　→6/5(1.2)Ωが実現可能

と、順番に調べることで、
・5本で1.2Ωが実現できること
・4本以下では1.2Ωは実現できないこと
が導かれます。

お礼

ご丁寧にご回答いただき有難うございました。
やはりそのようにやっていくしかないのですね。納得しました。
ありがとうございました。

回答No.1

ruto

最小の数で確実に合成抵抗を合わせるのは難しいと思いますが、
仮に、２つのA,Bの並列回路と考えると、
合成抵抗RはR＝A・B／（A＋B）なので、A＝１ならB＝-6
、A＝２ならB＝３、A＝３ならB＝２、A＝４ならB＝１.７となり
この組み合わせではA＝２，B＝３、またわA＝３、B＝２が最適と思われる。これより２個直列、３個直列これらを並列にすれば５この抵抗ですむことになる。

お礼

ご回答いただきありがとうございました。
同じように直列回路（１つといくつかの並列の）の場合とかやっていくのですか？
なぜ、最初に並列回路とわかったのですか？この場合直列の場合もあるということは考えないのでしょうか？
質問ばかりですみません・・。宜しくお願いします。