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数学

aを実数とし、f(θ)=-asin^2θ+2cosθを考える。θが0゜≦θ≦120゜で動くとき、f(θ)の最小値をm(a)とする。 (1)m(a)を求めよ。 (2)aが実数全体を動くとき、m(a)の最大値を求めよ。 どなたたか教えてください。 a(cosθ +1/a)^2 -1/a -a ここで cosθ=t (-1/2≦t≦1) 平方完成するとこまでできました。

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  • Mr_Holland
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回答No.2

>a(cosθ +1/a)^2 -1/a -a >ここで cosθ=t (-1/2≦t≦1) >平方完成するとこまでできました。  後はtで置き換えて次のように変形すれば、#1さんの言われるように2次関数の最大・最小の問題になります。  (ただし、事前にa=0を計算して、a≠0としておく必要があります。)   f(θ)=g(t)=a(t +1/a)^2 -1/a -a (-1/2≦t≦1) 0)a=0のとき、f(θ)=2cosθ ∴m(a)=-1 1)a>0のとき、  a)-1/2≦-1/a≦1(⇔a≧2)のとき、m(a)=-a-1/a  b)-1/a≦-1/2(∴0<a<2)のとき、m(a)=g(-1/2)=-3a/4-1 2)a<0のとき、  a)-1/a≧1/4(∴-4≦a<0)のとき、m(a)=g(-1/2)=-3a/4-1  b)-1/a<1/4(⇔a<-4)のとき、m(a)=g(1)=2  以上の場合分けをまとめますと、次のように整理できます。   a<-4のとき   m(a)=2   -4≦a<2のとき m(a)=-3a/4-1   2≦aのとき    m(a)=-a-1/a  あとは、これを図示すればはっきりと分かると思いますが、m(a)の最大値は a≦-4で2 ということが分かります。

その他の回答 (1)

  • hatake333
  • ベストアンサー率66% (36/54)
回答No.1

そこまでできれば,あとは二次関数の最小値問題ですよ. (1) まず,a = 0 のとき,   f(θ) = 2cosθ (0 ≦ θ ≦ 120) より,   m(a) = 0 以下,a ≠ 0 とする. f(t) = a(t + 1/a)^2 - (1/a) - a (-1/2 ≦ t ≦ 1)    = a(t + 1/a)^2 - (a^2 + 1)/a  頂点(-1/a , (a^2 + 1)/a) , 軸 x = -1/a (i)a > 0 のとき,  -1/2 ≦ -1/a < 0   ⇒   m(a) = f(-1/a)    ∴ a ≧ 2 のとき,m(a) = f(-1/a)      -1/a < -1/2  ⇒   m(a) = f(-1/2)    ∴ 0 < a < 2 のとき,m(a) = f(-1/2) (ii)a < 0 のとき,  0 < -1/a ≦ 1/4    ⇒   m(a) = f(1)    ∴ a ≦ -4 のとき,m(a) = f(1)  1/4 < -1/a       ⇒   m(a) = f(-1/2)    ∴ -4 < a < 0 のとき,m(a) = f(-1/2) 以上をまとめて,     f(1) (a ≦ -4)     f(-1/2) (-4 < a < 0) m(a) = 0 (a = 0)     f(-1/2) (0 < a < 2)     f(-1/a) (2 ≦ a) 計算はお任せします. (2) (1)で求めたm(a) に対して,各範囲内でとり得る最大値を考えて, その中での最大値を求めればOKです.

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