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>a(cosθ +1/a)^2 -1/a -a >ここで cosθ=t (-1/2≦t≦1) >平方完成するとこまでできました。 後はtで置き換えて次のように変形すれば、#1さんの言われるように2次関数の最大・最小の問題になります。 (ただし、事前にa=0を計算して、a≠0としておく必要があります。) f(θ)=g(t)=a(t +1/a)^2 -1/a -a (-1/2≦t≦1) 0)a=0のとき、f(θ)=2cosθ ∴m(a)=-1 1)a>0のとき、 a)-1/2≦-1/a≦1(⇔a≧2)のとき、m(a)=-a-1/a b)-1/a≦-1/2(∴0<a<2)のとき、m(a)=g(-1/2)=-3a/4-1 2)a<0のとき、 a)-1/a≧1/4(∴-4≦a<0)のとき、m(a)=g(-1/2)=-3a/4-1 b)-1/a<1/4(⇔a<-4)のとき、m(a)=g(1)=2 以上の場合分けをまとめますと、次のように整理できます。 a<-4のとき m(a)=2 -4≦a<2のとき m(a)=-3a/4-1 2≦aのとき m(a)=-a-1/a あとは、これを図示すればはっきりと分かると思いますが、m(a)の最大値は a≦-4で2 ということが分かります。
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- hatake333
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そこまでできれば,あとは二次関数の最小値問題ですよ. (1) まず,a = 0 のとき, f(θ) = 2cosθ (0 ≦ θ ≦ 120) より, m(a) = 0 以下,a ≠ 0 とする. f(t) = a(t + 1/a)^2 - (1/a) - a (-1/2 ≦ t ≦ 1) = a(t + 1/a)^2 - (a^2 + 1)/a 頂点(-1/a , (a^2 + 1)/a) , 軸 x = -1/a (i)a > 0 のとき, -1/2 ≦ -1/a < 0 ⇒ m(a) = f(-1/a) ∴ a ≧ 2 のとき,m(a) = f(-1/a) -1/a < -1/2 ⇒ m(a) = f(-1/2) ∴ 0 < a < 2 のとき,m(a) = f(-1/2) (ii)a < 0 のとき, 0 < -1/a ≦ 1/4 ⇒ m(a) = f(1) ∴ a ≦ -4 のとき,m(a) = f(1) 1/4 < -1/a ⇒ m(a) = f(-1/2) ∴ -4 < a < 0 のとき,m(a) = f(-1/2) 以上をまとめて, f(1) (a ≦ -4) f(-1/2) (-4 < a < 0) m(a) = 0 (a = 0) f(-1/2) (0 < a < 2) f(-1/a) (2 ≦ a) 計算はお任せします. (2) (1)で求めたm(a) に対して,各範囲内でとり得る最大値を考えて, その中での最大値を求めればOKです.
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