中２数学 自然数の問題

質問

中２の子どもの数学問題でお恥ずかしながら解答を見ても説明できなかった問題です。よろしくお願いします。
【問題】各位の数の和が３の倍数である自然数は３の倍数である。
　百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をｃとして３けたの自然　数について、このわけを説明しなさい。
【解答】
　100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c）
　33a+3bは自然数で、a+b+cは3の倍数だから3(33a+3b)+(a+b+c）は
　3の倍数である。
解答中の右側の式を立てるまでの説明が上手く出来ません。
「何故突然33とか出るの？」と言われてしまい・・・。
わかりやすく説明をよろしくお願いします。

回答No.3

solalin · ベストアンサー

100a+10b+c=3(33a+3b)+(a+b+c）
　33a+3bは自然数ですから　3(33a+3b)は３かける自然数だから３の倍数になりますよね、a+b+cが3の倍数ならば　3(33a+3b)+(a+b+c）は３の倍数プラス３の倍数だから　3の倍数になる。これは、お分かりでしょうか。
そして、なぜ、右側の式が出てくるかというと、各位の数の和が３の倍数である、これを式で表すと、a+b+cが3の倍数となります。
100a+10b+cは
100a+10b+c＝a+b+c+99a+9b＝a+b+c+3(33a+3b)＝3(33a+3b)+(a+b+c）となるわけです。
ここで、99a+9b＝3(33a+3b)と3でくくるのはこの式が3の倍数であることを説明するためです。
自分ではわかってもそれを説明となると難しいですね。

お礼

ありがとうございました。
「９９」という数字が出てくる式を見ることで本人もピンとくると
思います。
私も久々の数式に出会い、また勉強のし直しです。
どうもありがとうございました。

回答No.6

zk43

10=9+1
100=99+1
1000=999+1
10000=9999+1
・・・
のように、10、100、1000、10000、…は「9の倍数＋1」で表わせる
ことがポイントですね。
なので、3でくくれもしますが、9でもくくれるので、各桁の和が9の
倍数のときは、元の数は9の倍数であるということもいえます。
9の倍数なら、当然3の倍数でもありますね。
ちなみに、これは超有名な事実でもあります。
ほかにも、似たようなのに11の倍数の判定方法などもあります。

お礼

ありがとうございます。
10,100,1000、・・・は「９の倍数+１」という簡単な発想も数学が弱い
私には実は”気付き”に近いことのようです。
zk43さんはじめスッと解ける方が羨ましいです。それを優しくて易しい言葉で説明してくださるので助かりました。

回答No.5

koko_u_

>この余り１がスッと９９などが出る次のステップの式も導き出せるのですね。

何が言いたいのかよくわかりませんが、多分そうです。

お礼

元々数学が苦手なので自分がわかっているところまでを他の方に説明するのも上手くないようです。お気に触ってしまったならごめんなさい。

回答No.4

hiro001001

3の倍数かどうか、すなわち3で割りきれるかどうか知りたいのだから、とりあえず可能な限り 3×□ で表してみる。（3×□で表せたらその部分は3で割り切れることが確定だから、残りの部分が3で割れればいいよね！という考え方）

　100a → 3×33a + a
　10b → 3×3b + b
　cはどうしようもないのでそのまま

だから、

　100a＋10b＋c = 3×33a ＋ a ＋ 3×3b ＋ b ＋ c

あとは3でくくるだけ

お礼

100aの表わし方の式、10ｂの表わし方の式の説明わかりやすかったです。だからそのあと３でくくることが出来るのですね！
ありがとうございました。

回答No.2

happy2bhardcore

＞何故突然33とか出るの？
これは、展開がわからないということでしょうか？それとも、なぜ（33a + 3b）という形にするのかということでしょうか？

展開ならば
　100a + 10b + c
＝(99a + a)+(9b + b) + c
＝(3*33a + a) + (3*3b + b) +c
＝3(33a + 3b) + (a + b +c)

（33a + 3b）という形にするのがなぜか、という質問の場合。

3の倍数ということは、3*nという形にすればいいわけです。この問題の場合、たまたま3をくくりだしたら　3*(33a + 3b)という形になっただけであって、（）内の数字は何でもよいのです。

お礼

ありがとうございます。
わからなかったのは多分、展開の点と思われます。
「たまたま３をくくりだしたら」・・・という一文で
とてもスッキリわかってきました！

回答No.1

koko_u_

>「何故突然33とか出るの？」と言われてしまい・・・。
>わかりやすく説明をよろしくお願いします。
100 を 3で割っただけ。33 余り 1

お礼

ありがとうございます。
この余り１がスッと９９などが出る次のステップの式も導き出せるのですね。