ラテン方陣と魔方陣について
- 魔方陣は縦と横の和が同じで、すべての数が一回ずつしか現れない特殊な配置です。
- ラテン方陣は縦の各列も横の各列も同じ数字が一回しか現れないもので、作り方により2種類に分けられます。
- オイラー方陣は2つのラテン方陣を組み合わせたもので、n×nのオイラー方陣は奇数のnの場合に(1,1)から(n,n)までのすべての組が方陣内に一回ずつ現れます。
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ラテン方陣と魔方陣
魔方陣について、縦と横の和が同じで(斜めは考えない)、すべての数が一回ずつしか現れないものとします。ラテン方陣という縦の各列も横の各列も同じ数字が一回しか現れないものと定義づけます。このラテン方陣は作り方により2種類にわかれ、この2種のラテン方陣を組み合わせた方陣をオイラー方陣と名づけます。たとえば、3×3のラテン方陣は 123 123 312 と 231 231 312 となり、これを組み合わせた3次のオイラー方陣は (1,1)(2,2)(3,3) (3,2)(1,3)(2,1) (2,3)(3,1)(1,2) となります。 これらの定義条件下において次の定理を証明してほしいのですが。 定理. n×nの二つのラテン方陣からできるオイラー方陣にお いて、nが奇数ならば、(1,1)、(1,2)、・・・(n,n)のすべての組が方陣内にちょうど一回ずつ現れる。 どうかよろしくお願いしますm(__)m
- makoto05
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#1の補足を見ました。 ラテン方陣って、任意のnに対してその2つしかないんですっけ? その辺はおいといて。。。 Excelかなにかで軽く実験すると、けっこう簡単に法則は見えると思います。 (1行目から、1つずつ右下に行くにつれて、(i,j)→(i,j+2)という関係が基本。あとは上下、左右のワープが発生したり、nを超えたところの処理が出たり・・・場合分けの表現ですかね) 式で書くのはへこたれますが^^;
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- Mell-Lily
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問題の意味がいまいち分かりません。ラテン方陣の二種類の分かれ方についての説明はないのでしょうか?
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- ラテン方陣に関して
1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 のように、縦、横、同じ数が一度しか出でこない方陣を「ラテン方陣」と言うそうです。通常の「魔方陣」とは違って、「ラテン方陣」の場合、縦・横は絶対に合計が同じになりますが、対角の合計は同じでなくても、いいみたいです。 今、9 × 9 のラテン方陣が、全部で何通り、存在するのかや、それをコンピューターやソフトかなにかで、簡単に計算することができるのか、そういうことを頼める業者はないものなのかで、とても困っています。 9 × 9 のラテン方陣とは 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 5 6 7 8 9 1 2 3 5 6 7 8 9 1 2 3 4 6 7 8 9 1 2 3 4 5 7 8 9 1 2 3 4 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 7 9 1 2 3 4 5 6 7 8 ですが、この方陣の行と列をどのように入れ替えても、ラテン方陣、縦・横、同じ数字は一度しか出てこないラテン方陣ができ、その数は、きっと、ものすごい数のパターンがあると思います。 順番が1 2 3 4 5 6 7 8 9 でなくても、 1 3 5 7 9 2 4 6 8 3 5 7 9 2 4 6 8 1 5 7 9 2 4 6 8 1 3 7 9 2 4 6 8 1 3 5 9 2 4 6 8 1 3 5 7 2 4 6 8 1 3 5 7 9 4 6 8 1 3 5 7 9 2 6 8 1 3 5 7 9 2 4 8 1 3 5 7 9 2 4 6 のようなものもあります。 このようなラテン方陣を作成できるソフトや、何通りあるのかを調べるには、一体、どうしたらいいのでしょうか。 最後にもう一つだけお願いしたいのですが、とりあえずのところ、1 2 3 4 5 6 7 8 9という9個の数字の並べ方が、何通りあるのか、どなたか教えて下さい。 9の ! (階乗)で計算するのでしょうか?
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補足
4行目が間違っています。すいません。 123 123 312 と 231 231 312 です。 ラテン方陣の定義は、「縦の各列も横の各列も同じ数字が一回しか出てこない」というのが定義であり作り方は、最初の列み123と並べ、一段下がるごとに右OR左に一つ数字をずらせば2種類できます。