• ベストアンサー

フェルミ・ディラック分布とマクスウェル・ボルツマン分布の関係とは？

タイトルの通りです。 Ｅ－ＥF＞３ＫＴでの条件で近似できると聞いたのですが、速度分布と電子の存在確立？がどう関わるのかさっぱりわかりません。 どなたか教えてくだされば幸いです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • ksugahar
  • ベストアンサー率19% (7/36)
回答No.2

フェルミ分布は、電子が同じ準位には入れないという、パウリの排他律を考慮したボルツマン分布です。高温になると、もともと同じ準位に入ろうとしなくなるので、ボルツマン分布と一致します。速度分布と考えるよりエネルギー分布と考えたほうがいいです。

その他の回答 (1)

回答No.1

雑駁ながら次のような感じでどうですか。 マクスウェル・ボルツマン分布：速度分布って言い換えれば運動エネルギー分布ですから、ランダムな熱運動で「（気体分子などの）粒子」がある「エネルギーレベル」を取る確率分布。 フェルミ・ディラック分布：ランダムな熱運動で「電子」がある「エネルギーレベル」を取る確率分布。 両方同じものではありませんが、そういうふうに考えれば、何かつながりがあるとは言えそうではありませんか。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 自然科学
  4. 物理学

関連するQ&A

  • フェルミ分布関数について

    フェルミ分布関数において、x=(E-Ef)/kT とおくと、-df/dx は x=0 に最大値を示す対象関数であることを示せ。という問題が解けなくて困っています。 非常にお恥ずかしいのですが、どなたか回答を教えてください。

  • フェルミディラック分布則と電子の個数

    各エネルギー値の電子が存在する確率はフェルミディラック分布の形に従いますが、その確率が高ければそのエネルギーを持つ電子の数も多いという事になりますか？ フェルミディラック分布関数f(ε,T)自体はあくまで確率分布なので縦軸の最大値は１であり電子の個数を表してるわけではありません。しかしエネルギーの低い所から電子が満たされていくので、金属固体などではエネルギーが低い電子は価電子帯に多く存在し、電流となる自由電子は伝導帯、つまりフェルミ準位付近の僅かな電子しか電流に寄与しません。よってエネルギーが大きくなればそのエネルギーを持つ電子の数も段々少なくなると思います。厳密にエネルギーとそれに対応する電子の個数との関係がフェルミディラック分布関数のようになるのかという意味ではありませんが、エネルギーの低い電子はそれだけ数が多く、エネルギーが高くなればなるほどエネルギーの高い電子の個数もどんどん少なくなっていくという事でしょうか？

  • フェルミ-ディラック分布関数の導出

    ゼミでフェルミ-ディラック分布関数の導出を説明するのですが、すべてのエネルギー状態での伝導電子が占有する量子点の仕方の総数をＷとする。 　温度Ｔにおいて、熱平衡にある系を考えるとテキストでは、 『統計力学によればこのとき観測される物理量の平均値は最確分布で与えられる。それは、全電子数Ｎ＝ΣＮi、全エネルギーＥ＝ΣNiEiを一定に保ちながらＷの最大値を計算することに他ならない。』 と書いてあるのですが、最確分布の意味とそれがなぜ全電子数、全エネルギーを一定にするという条件でのＷの最大値を求めることになるのかが分かりません。教えてください。

  • フェルミ準位について

    フェルミ・ディラックの分布関数は f(E)=1/｛exp(E-EF/kT)＋1｝である。 1）Ef/k=5×10^4、T=5×10^2K　とするならば　-∂f/∂E　と　E/k　の関係をグラフに書け。 2）E=Ef＋δ　とすると 　　f(δ)=1-f(-δ)　である。これを証明せよ。 1）は　f(E)　を微分して　∂f/∂E=-1/4kT　まではできたんですけど、そこからどうやったらいいのかわかりません。 固体物理学の本を見ても証明とかは省いてあってできないんです。 どちらかひとつだけでもいいので教えてください。お願いします。

  • マクスウェル-ボルツマン分布関数のグラフについて

    「温度tをパラメータとしてマクスウェル-ボルツマン速度分布関数のグラフを描画せよ」という課題をgnuplotを用いて行ったところ、温度が上がるにつれ最大値が減少するという性質が表れませんでした。 続いて、同じ関数のグラフをExcelを用いて描画したところ、今度は正しくマクスウェル-ボルツマン分布の性質を示していると思われるグラフが描画されました。 どういった理由でこのような差異が生じたのでしょうか？ また、gnuplotを用いてExcelと同様のグラフを描画するためにはどのようにすればよかったのでしょうか？ 以下にその時に用いた関数、パラメータ、出力されたグラフを記します。 f(x,t)=4/sqrt(pi)*(m/2/k/t)**(3/2)*(x**2)*exp((-m*(x**2))/(2*k*t)) x：速度 m：原子質量 2.3e-26 [kg] k：ボルツマン定数 1.38e-23 t：温度 300,500,1000 [K] 添付グラフ 左：gnuplotによる出力 右：Excelによる出力

  • フェルミディラック分布関数と自由電子の移動

    他の所で質問したのですが、まだ回答を得られなかったので願いします。m(__)m フェルミディラック分布関数の示す意味とは何ですか？本には粒子が占める確率と書いてあって、１の時は１００％存在している...と何となく分かるのですが、いまいちピンときません。大体のイメージだけでも良いので教えて欲しいです。 そして本題なのですが、「実際の電流に寄与するのは図の矢印の境界近傍の部分に存在する自由電子だけで、境界より左の部分に占めてる電子は電流に寄与しない。」と教授が言っていたのですがどういう事でしょうか？境界（境界近傍とは関数のZの形でいう / 付近部分）より左側の電子は上の準位に空きが無いから移動できないと説明があって、それはまだ分かるのですが、分布関数とフェルミ準位辺りの電子の移動との関係が全く分かりません。F(ε)＝０．５の位置の電子だけしか電流に寄与しないとはどういう事でしょうか。教科書以外に図書館で本を色々と漁ったのですが、フェルミディラック分布関数と導電との関係を述べている本は見つかりませんでした。 どなたかフェルミディラック分布関数の意味とそれと自由電子の移動との関係を説明してもらえないでしょうか。お願いします。

  • フェルミエネルギーE_Fの値

    十分低温でkT≪E_Fが成り立つ時、 　　　E_F＝E_F0[1-π^2/12(kT/E_F0)^2]　…(※) という近似式が成り立ちます。 　この式を導く最終過程で、近似的に E_F^(3/2)[1＋π^2/8(kT/E_F)2]＝E_F0^(3/2) という式が得られました。 　 　僕はまずここから (E_F／E_F0)^(3/2)＝[1＋π^2/8(kT/E_F)2]^(-1) (E_F／E_F0)＝[1＋π^2/8(kT/E_F)2]^(-2/3) という式を出しました。 　次にx≪1のとき、(1+x)^y≒1+xy の近似式をつかって上式は (E_F／E_F0)＝1－π^2/12(kT/E_F)2 と変形できました。 　ここからが質問の本題です。ここで僕は手の出しようがなくなり、しょうがなく右辺をE_F≒E_F0 として(※)式を導いたのですが、 こんな近似ってダメじゃないですか？？ 結果は(※)式を出したいのに、なんか完全に合理的ではありません。 　皆さんならどのように E_F^(3/2)[1＋π^2/8(kT/E_F)2]＝E_F0^(3/2) の式から (※)の式を導きますか？？ 　ただし、kT≪E_Fが成り立つとします。

  • フェルミ準位

    エネルギーEとE+dEの間にある電子の数n(E)dEは n(E)dE=Z(E)F(E)dE Z(E):単位体積、単位エネルギーあたりの状態密度 F(E):フェルミ・ディラックの分布関数 F(E)=1/(1+exp[(E-E_f)/kT]) T:絶対温度 E_f:フェルミ準位 電子の状態密度は Z(E)dE=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)e^(1/2)dE m:固体中での電子の有効質量 h:プランク定数 T=0Kでは n=(4π/h^3)*(2m)^(3/2)∫[0～E_f0]e^(1/2)dE E_f0:T=0KのときのE_f 変形するとE_f0=(h^2/2m)(3n/8π)^(2/3) T>0Kのときは n(E)=∫[0～∞]Z(E)dE/(1+exp[(E-E_f)/kT]) ここでE_f>>kTとすると E_f≒E_f0[1-(π^2/12)(kT/E_f0)^2] となるのですが、この最終式を導くにはどうしたらいいのでしょうか。とくに「１２」という分母がどこから出てくるのかが気になります。

  • 【重力を考慮した場合の気体の分布】　マクスウェル－ボルツマン分布則

    テスト対策で，学校の教科書（戸田盛和著『物理入門コース７　熱・統計力学』岩波書店　p.117～）を読んで疑問に思ったことがあります。他の参考文献を探しても中々理解できるのが見つかりません。誰か助けてください。 重力を考慮した場合，力学的エネルギーは運動エネルギー＋位置エネルギーと求めるため，分子の(x,y,z)座標と速度成分を同時に考え，6次元の空間として考える事は理解できました。 そして問題はマクスウェル－ボルツマン分布則なのですが・・・ f(x,y,z,vx,xy,xz)dxdydzdvxdvydvz = C exp(-ε/kT)dxdydzdvxdvydvz 　* ε = m/2(vx^2 + vy^2 + vz^2) + φ(x,y,z) Cが定数なのは解るんですけど，実際にCを求めてみたら如何なるんでしょうか？ 自分なりに求めてみたのですが，求める度に違う値になり全く持って自信がありません。一応，C = (mg/2kTS)*(m/2kTπ)^(3/2)　と言う目茶苦茶な値になりました；；断面積Sの無限に高い容器に入れた場合として考えたらこうなりました。。。 また，この場合において力学的エネルギーの平均値はどのように求めればいいのでしょうか？また，これによって求められた値は，重力を考慮しない理想気体の力学的エネルギーの平均値(3kT/2)と違う値になるそうです。・・・何故そうなるんですか？ とても混乱しているので解りにくい質問でごめんなさい。 お願いします。

  • 正規分布の問題

    こんばんは。 正規分布の問題ですが、最近統計学を学び始めたので、全く理解できません。 どなたかご教示よろしくお願い致します。 解法を教えて頂けると助かりますが、お手数でしたらプロセスだけでもお願い致します。 問題 　サイコロを42000回投げて出た目の総和がある値以上となる確立を0.002以下としたい。この値の最小値はおよそいくらか。 　ただし、目の出る確率は1/6ですべて等しく、何回目にどの目が出るかは互いに独立な事象である。 　なお、確立変数Zの平均E(Z),分散V(Z)が存在するとき、関係式 V(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2 が成り立つ 　また、{Xi} (i=1,2,..,n) が互いに独立かつ同一の確率分布に従う確率変数列で、E(Xi), V(Xi)が有限ならば、nが十分大きいとき、Y=ΣXiは近似的に正規分布に従うとみなせる。 　さらに確立変数Yが正規分布に従うならば、(Y-E(Y))/√(V(X))は標準正規分布に従い、標準正規分布の確立密度関数, 　f(x)=1/√(2π)・e^-x^2/2 に対し、 　∫f(x)dx=0.002 (x; 2.88～+∞) とする。 解は148000です。よろしくお願い致します。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する