偏差値

偏差値は、順位を点数で表現したものですが、世間には大きな誤解が広まっているように思います。

(1)正規分布は、様々な分布の種類のうちのほんのひとつに過ぎず、身長・体重・工業製品の誤差などには近くても、人為的な活動である教育には、もともと適していないと思います。
おおざっぱに言ってしまえば、教育とは、正規分布だった学力をＪ型分布(学力上位が多数)に変える作業だとも言えるでしょう。

(2)偏差値が多少なりとも意味を持つのは、同一集団の同一テストに限ります。
しかも、それでさえも、「採点基準が完全に統一されている」という条件が必須です。
現実的には、ひとりの教員が採点するテストでも、採点基準が最初と最後で変化することが珍しくありません。
ましてや、複数の人間が採点する全国模擬試験では、この観点から、１、２点の差を問題にするべきではありません。
そもそも正規分布になっているテストなどどこにもありませんから、あくまで「順位の目安」程度にとらえておくべきです。

(3)世間で「偏差値」の単語を使うとき、それが「合格最低水準」の意味で使われていることが少なくありません。
この場合、合格最低点を予測するのはプロの進学予備校でもきわめて難しい作業ですので、二重の意味で、細かい点数にこだわるのは意味がありません。

順位を集団規模に左右されずに表現するには便利なシステムですが、過大に重視しないことです。

投稿日時 - 2008-07-13 22:53:41

こんにちは。

テストの難易で平均点が異なる不合理を解消することは、当然のことですが、
偏差値を求めることの最大のメリットは、得点のばらつきが出やすい科目・試験と、得点のばらつきが出にくい科目・試験とを、同じ土俵に上げて比較できることにあります。
そして、ある人の偏差値を見れば、ただちに、下記のようなことがわかります。

・偏差値５０ならば、全体の真ん中にいる。
・偏差値６０ならば、自分より上に１６％の人数がいて、自分より下に８４％の人数がいる。
・偏差値４０ならば、自分より上に８４％の人数がいて、自分より下に１６％の人数がいる。
・偏差値７０ならば、自分より上には、２．３％の人数しかいない。
・偏差値３０ならば、自分より下には、２．３％の人数しかいない。
・偏差値８０以上には、０．１３％の人数しかいない。（７４０人に一人）



以下は、解説。
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高校の数学で、「正規分布」や「標準偏差」というものを習います。
教科書の巻末には、「正規分布表」というものが載っています。

世の中の、ばらつきを持った色々なデータというのは、多くの場合、正規分布にしたがうということが知られています。
工業製品の寸法や特性値もそうですが、人間の学力もそうなのです。
実際、模擬試験の結果を、棒グラフ（横軸が得点、縦軸が人数）にしてみると、正規分布に近い形になります。

偏差値を求める手順は、こうです。
１．全受験者の得点の平均点を計算
２．全受験者の得点の標準偏差を計算（１０００人ぐらいまでなら、Ｅｘｃｅｌなどの関数で簡単に計算できます。）
３．全受験者の点数から平均点を引き算する。（すると、マイナスの点数の人数と、プラスの点数の人数とが、だいたい等しくなる。）
４．３で求めた一人一人の点数を、それぞれ標準偏差で割って、１０をかける。

５．４で求めた一人一人の点数に５０を足す。

　　すると、平均点５０、標準偏差１０の分布になります。
　　この状態での、一人一人の点数のことを「偏差値」と呼びます。

投稿日時 - 2008-07-12 15:44:26

生徒に質問されたのなら、「どうやって偏差値を計算するか」でなく、「何故偏差値で比べるか」を説明することになるでしょう。

テストのナマ点で比べた場合、テストが1回だけなら何も問題は無いけれど、
テストを何回も行った場合、単純にナマ点で比べたら問題がありますよね？
たとえば、Ａさんの成績が、
1学期：60点、平均50点、1000人中100位。
2学期：80点、平均70点、1000人中200位。
だとすると、2学期のほうがナマ点は高いけれど、順位が落ちているから
明らかに成績は下がったということです。

ですから、ナマ点をある方法で換算して、違うテストを比べることができるようにしたのが偏差値です。
（偏差値の出し方は知っているでしょうから省略。）

ためしに、偏差値以外の方法で換算してみるとどうなるか。（満点を100点に固定します。）
・平均点をとれば50点とし、平均点からの差を上乗せ（差し引き）する。
1学期：60点、1000人中100位。
2学期：60点、1000人中200位。（2学期のほうが各人の得点がばらついていれば、こうなる。）
ですので、単純に平均からのズレをとっただけでは解決しないので、
偏差値の計算方法のほうが良いことになります。
で、偏差値と順位は、ほぼ対応します。
平均付近の人数が多く、高得点（低得点）なほど人数が少なく、また、得点分布が低得点と高得点でほぼ対称という条件がつきますが、
偏差値　　50　　55　　57　　60　　65　　70　　75　　80
順位　　　500　300　　250　160　　65　　20　　5　　　1
順位は1000人中のおよその順位。また、偏差値50未満は省略。

ですので、偏差値から順位がただちに判る（受験者数が多ければ。）ので、
人によっては偏差値の1点にこだわります。（実際は、体調などで5くらい変動するので、多少の変動を気にしても意味ない。）

偏差値から順位がわかるなら順位そのものを使ったらどうか、という疑問について。
（たとえば、1位を80、真ん中を50、ビリを20、それ以外は、順位に比例して配分する。）
試験結果は平均点付近が最も多いから、平均から少し点がズレると
順位が大きく変動してしまうので平均付近の得点がうまくあらわせない
ということになります。

ですので、簡潔に説明するなら、
・異なったテストの結果を比較できるよう、テストのナマ点を調節したものが偏差値。
もう少しつけくわえていいなら、
偏差値と、およその順位の関係。
さらにつっこまれた場合、上記説明でだいたい間に合うでしょう。

投稿日時 - 2008-07-12 12:24:50