集合・論証の問題の解法について

質問

集合の考え方が思うように使えず困っています。
以下の問題の解法・方針を教えていただけますでしょうか。
よろしくお願いします。

（）に入る数を求める問題です。

あるクラスの生徒40人に英語国語数学の試験を行い、英語が６０点以上の生徒が２３人、国語が60点以上の生徒が20人、数学が60点以上の生徒が18人でした。
このとき、英語と数学がともに60以上の生徒は少なくとも（　　）人
多くて（　）人である。
また、数学と国語がともに60点未満の生徒人数は、数学と国語がともに60点以上の生徒の数よりも（　）人多くなる。

回答No.2

nettiw

英○数○　（Ａ）人＝（Ａ）人　　　　　
英○数●　（Ｂ）人＝（２３－Ａ）人
英●数○　（Ｃ）人＝（１８－Ａ）人
英●数●　（Ｄ）人＝（Ａ－１）人

１≦Ａ≦１８
......

数○国○　（Ｅ）人＝（Ｅ）人
数○国●　（Ｆ）人＝（１８－Ｅ）人
数●国○　（Ｇ）人＝（２０－Ｅ）人
数●国●　（Ｈ）人＝（Ｅ＋２）人

Ｈ＝Ｅ＋２
......　　　　　　　こんな風（感じ）になります。

回答No.1

R_Earl

> あるクラスの生徒40人に英語国語数学の試験を行い、英語が６０点以上の生徒が２３人、国語が60点以上の生徒が20人、数学が60点以上の生徒が18人でした。
> このとき、英語と数学がともに60以上の生徒は少なくとも（　　）人
> 多くて（　）人である。

「多くて(　)人」の方に関しては
集合の考え方は必要ありませんし、計算の必要もありません。
もっと単純に考えてみましょう。

「少なくとも(　)人」に関しては、絵を書いてみたらいいのではないでしょうか。
なるべく「数学と英語が60点以上」となる人が登場しないようにしていけば
自ずと答えが出るでしょう。

> また、数学と国語がともに60点未満の生徒人数は、数学と国語がともに60点以上の生徒の数よりも（　）人多くなる。

もっとスマートな解法があるかもしれませんが、私が思いついたのは以下の方法です。

ベン図を描いて考えます。
国語と数学だけの話なので、「国語60点以上の人の集合」と「数学60点以上の人の集合」を描いて下さい。
全体集合は「クラス40人」とします。

「国語60点以上の人の集合」と「数学60点以上の人の集合」の共通部分(「国語も数学も60点以上の人の集合」)の人数をx人とします(図に書き込みます)。
そのxを用いて「国語60点以上だが数学60点未満の人の集合」の人数と
「数学60点以上だが国語60点未満の人の集合」をxを用いて表して下さい(図に書き込みます)。
そうすると、ベン図の残りの部分である「数学も国語も60点未満の人の集合」の人数がxを用いて表せます(図に書き込みます)。
あとは「数学も国語も60点未満の人の集合の人数」から「国語も数学も60点以上の人の集合の人数」を引けば良いです。