グラフの平行移動について(高校数学)

質問

グラフの平行移動を解く際に
　y-q=f(x-p)
という公式を使って解くというように書いてあるのですが、何故上のような式になるのかその理論がどうしてもわかりません。

上の式自体は
『関数Aを移動した後の関数を関数Bとする。
　関数A y=f(x)上の任意の点をQ(X,Y)とし、
　x方向にp、y方向に移動した点をP(x,y)とすると、
　　x=X+p y=Y+q　より　X=x-p Y=y-q　
　Qは関数A上にあるから　Y=aX+b
　よって、関数Bの方程式は
　　y-q=f(x-p)
　となる』
という解説から導かれたものらしいのですが、自分にはなぜこれ代入するだけで関数Bの方程式が導かれるのか理解できません。
それに、移動した点を元に関数を求めるのならば、
x=X+p y=Y+qを代入して y+q=f(x+p)になるような気さえしてしまいます。(もっとも正解が導けませんが……)

理論が判らなくても公式を使って問題は解けますが、どうしても気になってしまい悩んでます。どうかこの公式の意味をわかりやすく教えていただけませんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.4

oruka · ベストアンサー

これ、よくこんがらがるんですよね～。一回わかった気になっても後で人に説明しようとすると、「あ、あれ？」ってまたぐらつく。あげく逆に＋の方が正しく思えてくる始末。昔経験あるのでお察しします。
説明は軸を動かすって考える方法などいろいろなのですが、ひとまず正攻法バージョンでいってみますから、合わなければまた返事ください。

平行移動する前のグラフ(*)は関数A y=f(x)を満たしています。
この時x方向にp、y方向にq平行移動したグラフ(**)上の点(x,y)はどんな条件式をみたすべきなのだろうか？と考えてみましょう。
点(x,y)を-p,-qだけ平行移動した点(x-p,y-q)はもとのグラフ(*)上の点だからAの式を満たしていなければならない、これを式に表すとy-q=f(x-p)となる。
ここ重要なので念をおしますね。
点(x-p,y-q)が(*)上なので、Aを満たすべき点は(x,y)ではなく(x-p,y-q)です
。このことを式でかけばy-q=f(x-p)となるのです。これが求める条件式となるのです。すなわち関数Bの正体はy-p=f(x-p)だったわけです。

いかがでしょうか。laviさんの感性とマッチしているといいんですが。

お礼

つまり関数Aは関数A上の点しか当てはまらないので、点(X,Y)を使った式しか出来ないということですよね？
だから、点(x,y)を直接入れることはできない。よって、点(X,Y)と同じものを表す点(x-p,y-q)を使う。なるほど～と思いました。
とってもわかりやすかったです。どうもありがとうございました！

回答No.9

oruka

No４です。No８さんに賛成ですね(^^)

結局(x,y)の満たすべき条件は「x座標からp引いて、y座標からq引いたら、それはもとのグラフy=f(x)上にある」ですから(x,y)の満たすべき「関係式」はy-q=f(x-p)というわけですよね！

回答No.8

toru1025

NO６さんのアドバイスに対しての、［お礼］に感心しました。
あなたいいセンスをしてますよ。

関数のグラフは点（x,y）の集まりですね。
(x,y)の関係式をグラフの（軌跡の）方程式と呼びます。

（X、Y）の軌跡の方程式がY=ｆ(X)です。
それを平行移動したグラフを表す方程式が、多くのアドバイスのように
X=x-p,Y=y-qより、ｙ-q=ｆ(x-p)となります。

移動したグラフ上の(任意の)点(x,y)は、この方程式を満たします。
つまり、y-q=f(x-p)こそが点(x,y)の軌跡の方程式です。

頑張ってください。

回答No.7

uyama33

Y
　　　　　　　　　　｜
－－－－－－－－－－＋－－－－－－－－X
　　　　　　　y 　　｜
　　　　　　　｜　　
　　　　　　　｜
－－－－－－－＋－－－－－－－－－x
　　　　　　　｜
　　　　　　　｜
　上の図のような２つの座標系を考えます。
たとえば、ｙ＝ｘ＾２　のグラフを左下の座標系で
書いたとします。
　このグラフを(p,q)だけ平行移動したグラフを考えます。
この移動したグラフの頂点と、右上の座標系の原点が重なっているとします。
　移動したグラフは、右上の座標系で考えれば
　　　Y=X^2　　　　－－－－＊
とかけます。
　ところで、Y+q=y , X+p=x ですから、Y=y-q, X=x-p これを
＊式に代入すると平行移動の式になる。
　新しい場所での座標系のＸＹが
もとのxyとくらべるとp,qだけ少ないということを意味しています。

回答No.6

Mell-Lily

関数y=f(x)のグラフPをx方向にa、y方向にbだけ平行移動したグラフQをとするならば、Q上の任意の点(x,y)をx方向に-a、y方向に-bだけ平行移動した点(x-a,y-b)は、P上にあります。ゆえに、
　y-b=f(x-a) … (1)
が成り立ちますが、これは、Q上の任意の点(x,y)に関する関係式になっていますから、(1)は、Qを表す関数です。

お礼

関係式という言葉でようやく謎が解けました！
あの式はyとxの関係を表す式。関数そのものだったというわけですね。
式がなりたつところまでは他の皆さんの解説で理解できたんですけど、代入しただけの式がなぜ移動後の関数になるんだろうとずっと頭を捻らせてましたが、ようやく理解する事ができました。(すっごく基本的なことなのに……)
ありがとうございました！これでようやく先に進めます(^^)

回答No.5

First_Noel

グラフの移動を「公式」と言う形で捉えているところに何となく違和感を感じます，
理屈や式だけではなく，実際にグラフを書きまくって体得することも心がけると良いと思います．
そうすると，
y-q=f(x-p)
移行して書き直して，
y=f(x-p)+q
の式が，
「ほんとはｙ＝１だけど５にしたいから＋４しよう，だからｑ＝＋４」
「ほんとはｘ＝－１のときだけどｘ＝３でこのｙにしたいからｐ＝－４」
と言う作業が，ご質問の「公式」と言う形に一般化されることが体得出来るのでは？と思います．

この類の話は，高校物理で言えば，波動の位相のところで実際に用いられます．
（正弦波の位置や時間をずらすときに用います．）
また，微積分の置換積分でも出て来ます．
数学は分かるまでは悩みますが，分かるとぱっと世界がひとつ広がります．
ガンバッて下さいねー．

回答No.3

jovijova

例題を作って考えると良いでしょう。
Ｑ
y=2xのグラフをx軸方向に3、y軸方向に4平行移動したときのグラフの方程式を求めなさい。
Ａ
y=2xのグラフは(0,0)を通ります。ここを基準に考えましょう。ここを(3,4)に平行移動すると考えます。すると、
(y-4)=2(x-3)
y-4=2x-6
y=2x-2
と公式でとけばこうなります。そしてこのy=2x,y=2x-2のグラフを書いて考えてみてください。しっかり平行移動してますね。laviさんが考えているように、y=2x-2のxに+3を入れてみてください。yは+4になりますね。つまり、+(プラス)の数字を入れて成り立たせるために、移動する分-(マイナス)してちょうじり合わせしているイメージです。
　お解かりいただけたでしょうか？補足質問がありましたら、お気軽にどうぞ。

補足

わかりやすいご説明ありがとうございます。
ただ、jovihovaさんの考えである『二つの関数の答えを比べ、ずれているから帳尻を合わせる』というのは感覚的には既に判るんですけど、結果論だと思うので納得いかなかったんです。
でも、再確認として大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

eatern27

＞x=X+p y=Y+qを代入して
って、Ｐ(ｘ,ｙ)はｙ=ｆ(ｘ)上にないので代入できませんよ。代入できるのはｙ=ｆ(ｘ)上にある、Ｑ(Ｘ,Ｙ)のみですよ。
例えば、ｙ=ｘ上にない、ｘ=0、ｙ=1を代入して、1=0と計算しないでしょう?

ｙ=ｆ(ｘ)で使われている変数のｘ、ｙと
点Ｑ,点Ｐで使われている定数のｘ,ｙ,Ｘ,Ｙがごちゃごちゃになっているのでしょう。

Ｐ(ｘ',ｙ')と置くか、Ｑ(a、ｂ)、Ｐ(c、ｄ)と置いたら理解できると思いますよ。

この説明で分からなければ、遠慮なく補足へ。

ところで
「Qは関数A上にあるから　Y=aX+b」の、"Y=aX+b"って何でしょう?いつのまにｙ=ｆ(ｘ)が直線になったのでしょうか？細かい事ですが・・・

補足

＞x=X+p y=Y+qを代入して
って、Ｐ(ｘ,ｙ)はｙ=ｆ(ｘ)上にないので代入できませんよ。代入できるのはｙ=ｆ(ｘ)上にある、Ｑ(Ｘ,Ｙ)のみですよ。

……確かにそうですね。式だけに集中していたので落とし穴に気付きませんでした。
あと、関数をいつのまにか直線の式で書いていたのはこちらのミスです。申し訳ございませんでした。

回答No.1

noname#24477

(X,Y)を(x,y)に移動する。
Ｙ＝ｆ（Ｘ）が成り立っているとしてｘ，ｙの関係式を求める。

どちらを大文字で考えてもいいですが、どちらが分かっているほうの
式かもう一度考えてください。
どちらが分かっていて、どちらを求めるのか。

またｘ方向に＋ｐだけグラフが動いていたら、Ｘはその分だけ省エネできる。
まあ余り分かりやすい説明でもないですが、じっくり考えてください。
自分で納得できるまで。

補足

つまり、点(x,y)はまだ判っていない関数上にあるため、直接は求めれない。
だから、今わかっているY=f(X)に点(x,y)を当てはめてxとyの関係を表す式、つまり関数を求めるということでしょうか？
省エネの話はちょっと理解できなかったのですが、自分の気になっていた事は判った気がします。ありがとうございました！