証明の問題です。

質問

はじめて質問させていただきます。
先日、証明の問題で「x^2+y^2=z^2のとき、x,y両方またはどちらか一方は必ず３の倍数になることを証明せよ。」というものを出されたんですがさっぱりわかりません。
どなたかヒントだけでも出していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

Aquoibonist · ベストアンサー

この問題に対しては、対偶証明法が有効であると思います。
対偶証明法なんて名前は仰々しいですが、中身はいたってシンプル。
まず、問題の内容を整理しましょう。
「x^2+y^2=z^2」⇒「x,yの少なくとも一方は3の倍数」となりますね。
この命題の対偶を取りますと、
「x,yが共に3の倍数ではない」⇒「x^2+y^2≠z^2」となります。
結局この二つ目の命題が真であることを証明すればよくなります。
以下その証明を行います。
x,yが3の倍数ではないですから、x,yはともに＝3k±1(kは任意の整数)と置けます。
x^2、y^2を3で割ったあまりは共に1ですね(少し計算すればわかります)。
すなわちx^2+y^2を3で割ったあまりは必ず2になるということです。
それに対してz^2を考えて見ましょう。
zが3の倍数であればz^2を3で割ったあまりは0だし、3の倍数でなければ上と同様に
z^2を3で割ったあまりは1になりますね。
つまり、z^2を3で割ったあまりは0か1になるということです。
このことより、x^2+y^2≠z^2がわかります(3で割った余りが違うから!!)。
この問題のもうひとつのポイントは3で割った余りを考えることでしょうか?
(いわゆる剰余類の考え方…だったかな?少し曖昧)
最後に対偶についてコメントすると
「ＰならばＱ(Ｐ⇒Ｑ)」という命題に対して「￢Ｑ⇒￢Ｐ」を対偶といいます。
「￢」は否定(～ではない)の意味です。
元の命題と対偶の命題の真偽は一致することが知られていて、今回使った論法も
それに立脚しています。

お礼

回答ありがとうございました。
早速参考にさせてもらいます。

回答No.5

eatern27

背理法で示します。
x,yのいずれも３の倍数でないとすると
x≡1 (mod 3)のとき、
x^2≡1^2≡1 (mod 3)
x≡2 (mod 3)のとき
x^2≡2^2≡4≡1 (mod 3)
よって、x^2≡1 (mod 3)
同様にy^2≡1(mod 3)
∴x^2+y^2≡2(mod 3)
また、z≡1(mod 3)または、z≡2(mod 3)のとき、z^2≡1(mod 3)がいえ、
z≡0(mod 3)のとき、z^2≡0(mod 3)が言える
∴z^2≡0または1(mod 3)
以上より、z^2≠x^2+y^2となる、x^2+y^2=z^2に矛盾するので
x,y両方またはどちらか一方は必ず３の倍数になる

お礼

回答ありがとうございました。
早速参考にさせてもらいます。

回答No.4

fushigichan

こんにちは！面白い問題ですね。

さて、x^2+y^2=z^2のとき、
x^2=z^2-y^2
=(z-y)(z+y)とかけますから、場合わけします。

（１）z=3a,y=3b+1のとき←ｙは３で割ってあまりが出ると考えます。
このとき、z^2-y^2=(3a)^2-(3b+1)^2
=9a^2-9b^2-6b-1
=3(3a^2-3b^2-2b-1)+2・・・・これは、３で割って２余ることを示す。
ここで、ｘは３でわって１あまるか２余るとすると
ｘ＝３ｃ＋１とかける。
x^2=(3c+1)^2=9c^2+6c+1・・・これは、３で割って１余ることを示す。
よって矛盾。
ところがｘ＝３ｃとおいても矛盾が生じるので、ｚは３の倍数でなければならない。

（２）したがって、z=3a+1 とかけます。
このとき、y=3b+1とかくと、
z^2-y^2=(z-y)(z+y)=(3a-3b)(3a+3b+2)
=3(a-b)(3a+3b+2)となって、ｚ＾２－ｙ＾２は３の倍数であることを示す。
このときｘが３の倍数でないと仮定すると、
x=3c+1とかけるので、
x^2=(3c+1)^2=9c^2+6c+1
=3(3c^2+2)+1・・・・これは、３でわって１余ることを示す。
これは矛盾である。
したがって、ｘ＝３ｃとかけなくてはならない。

（３）ｘ＝３ｃ、ｙ＝３ｂとかけるとき、
x^2+y^2=9(c^2+b^2)・・・３の倍数
ｚは（１）から３の倍数であることがいえるので、
z=3aとすると、
z^2=(3a)^2=9a^2・・・３の倍数
このとき、題意を満たす。

よって、（１）（２）（３）より、ｘかｙのどちらかは３の倍数であることがいえる。

お礼

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回答No.2

mmky

[x^2+y^2=z^2のとき、x,y両方またはどちらか一方は必ず３の倍数になる]
ということですね。x,y,zも整数とすると、この式はピタゴラスの式だから

ｘｙｚ　x^2　y^2　z^2　
　１　　1　　1　　1
　２　　4　　4　　4
　３　　9　　9　　9
　４　　16　16　　16
　５　　25　25　　25
　６　　36　36　　36
・・・・・・・・・・・
x^2+y^2＝z^2　になる整数は、例えば、
x^2=9,y^2=16,z^2=25
になるね。確かにｘ＝3　が入っているよね。
参考まで

お礼

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回答No.1

shota_TK

面白い問題ですね。もちろん、x,y,zとも自然数ですよね。
x^2=(z-y)(z+y)ですね。
この式から、xについてかなりのヒントが得られますね。
つまり、x^2が(z-y)の倍数だとしたらxも(z-y)の倍数ですね。
同様に、y^2=(z-x)(z+x)です。
ここで、x=yという条件は成立しないことから（←これはOKでしょうか？）、xとyについて、次のようなことがわかります。
xとyは、4つの異なる数値、z-y,z+y,z-x,z+xの倍数になっていますが、
仮にx<yとおくと、この４つの数値は
z-y<z-x<z+x<z+y
となりますね。このなかに、３の倍数がないと矛盾が出ることを証明すればいいわけです。以上のヒントでどうでしょうか。

お礼

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