平面ベクトル・(a→・b→)^2=|a→|^2・|b→|^2 この式は正しいのでしょうか？

質問

aベクトルを a→
bベクトルを b→
と表します。また
|a→|^2 はaベクトルの長さの２乗
|b→|^2 はbベクトルの長さの２乗
a→・b→ はaベクトルとbベクトルの内積
を意味します。

本題ですが、aベクトルとbベクトルの内積a→・b→を２乗したもの
(a→・b→)^2は
(a→・b→)^2
=(a→・b→)×(a→・b→)
=a→・a→・b→・b→
=|a→|^2×|b→|^2
で合っているでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

正しくありません。
成り立つのは
(a→)//(b→)
の時のみです。

＞=(a→・b→)×(a→・b→)
＞=a→・a→・b→・b→
この変形が正しくないです。
２行目が何を表すか？不可解な式です。
内積は２つのベクトルの積です。そしてその積はスカラー量（ベクトルでない単なる数値）です。別の内積間を跨いで、ベクトルの交換や順序を入れ替えることはできません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞正しくありません。
そうでしたか・・・。ご指摘ありがとうございます。

＞この変形が正しくないです。
ご指摘の通り、この変形が合っているかという事が最大の疑問でした。そもそも内積自体がなんのためにあるのかが、わからないのでごちゃごちゃだったのです。

＞別の内積間を跨いで、ベクトルの交換や順序を入れ替えることはできません。
理由はわかりませんが、覚えておきます。

回答No.2

noname#56760

http://www.yuushirai.jp/shirai/Space/C8.GIF
先ずベクトルの内積ですが、↑の図を見れば分かるように射影です。(上から光を当てた時にできる影)
以上から長さの掛け算であり、同じ向きなら＋、逆向きなら－、垂直なら０であることが分かります。
ですので

=(a→・b→)×(a→・b→)
=a→・a→・b→・b→

の変形は正しくないです。

(a→・b→)^2=|a→|^2・|b→|^2
は成り立つかということですが、なす角θ＝０なら成り立ちます。
つまり(a→)//(b→)の時です。上で述べた影をイメージすれば、
θ＝０の時だけなぜ成立するのかすぐ分かると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞=(a→・b→)×(a→・b→)
=a→・a→・b→・b→
の変形は正しくないです。

ご指摘ありがとうございます。

＞つまり(a→)//(b→)の時です。

そのときに成り立つと言うことが本に書いてあり、なぜ？と思ったのがこの疑問のきっかけでした。またわかりやすい図を教えてくださってありがとうございます。