位相数学（ハウスドルフ空間と点列の極限）についてです。

質問

位相数学についてです。

ハウスドルフな位相空間の任意の点列の極限は一意的というのは、分離公理からすぐ言えるのですが、逆に任意の点列の極限が一意的ならハウスドルフであるということはいえるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.5

muturajcp

先ほどの私の文の例の中に誤りがあったので訂正します。

点列が「自然数全体の集合N上の写像」という可算点列ならば
「可算点列の極限が一意→ハウスドルフ」は成立しないが
点列が「有向集合上の写像」という有向点列ならば成立する

「位相空間　X　の　任意の有向点列が多くとも1つの極限点しか持たないならば、
X　は　ハウスドルフ　空間である」の証明

X　がハウスドルフ空間でないと仮定する
X　の　相異なる2点　a≠b　に対して
Y(a)={U |a∈U　開}=(aの近傍全体)
Y(b)={V |b∈V　開}=(bの近傍全体)
A=Y(a)×Y(b)　とする
{(U_1,V_1),(U_2,V_2)}⊂A　で　U_1⊃U_2　＆　V_1⊃V_2　のとき　(U_1,V_1)≦(U_2,V_2)
　と定義すると
(A,≦)　は有向集合となる
X　がハウスドルフ空間でない仮定から、A∋α=(U,V)　に対し、　U∩V≠φ　だから
x_α∈U∩V　となるように　有向点列　(x_α)_{α∈A}　をとることができる。
a∈U　開　b∈V　開　となる任意の　U,V　に対して、(U,V)∈A だから　(U,V)=α_0　とすると
α_0≦α∈A　となる任意のαに対し、α=(U',V')　とすると　U⊃U'　＆　V⊃V'　となり
U∩V⊃U'∩V'∋x_α　となるから　(x_α)_{α∈A}　は　a　と　b　の両方に収束する。

*(有向集合の定義)
　順序集合(A,≦)において、任意の{α,β}⊂A　に対し、
　α≦γ　＆　β≦γ　となる　γ∈A　が存在するとき、A　を有向集合という

*(有向点列の定義)
X　を集合、A　を有向集合とするとき
　x:A→X　(AからXへの写像)を　(x_α)_{α∈A}　と表して　X　の有向点列という

*(有向点列の収束と極限の定義)
　(X,D)　を位相空間、A　を有向集合
　(x_α)　を　X　の有向点列として　a∈X　とする
　a∈V∈D　となる任意の　V　に対して、　α_0∈A　が存在して
　α_0≦α∈A　となる任意の　α　に対して　x_α∈V　となるとき
　(x_α)　は　a　に収束するという。このことを
　lim x_α=a　または　lim x_α(A)=a　または　x_α→a　と書く
　またこのとき、　a　を　(x_α)　の極限という

*例)
(R,D)
空間R={実数全体}
位相D={V|V=φまたは|R-V|≦可算}　とすると
　(R,D)　はハウスドルフ　でない。
Y(0)={U |0∈U　|R-U|≦可算}=(0の近傍全体)
Y(1)={V |1∈V　|R-V|≦可算}=(1の近傍全体)
A=Y(0)×Y(1)　
{(U_1,V_1),(U_2,V_2)}⊂A　で　U_1⊃U_2　＆　V_1⊃V_2　のとき　(U_1,V_1)≦(U_2,V_2)
　と定義すると
(A,≦)　は有向集合となる
A∋α=(U,V)　に対し、　|R-U|≦可算,|R-V|≦可算で
|R-U∩V|=|(R-U)∪(R-V)|≦可算で U∩V≠φ　だから
x_α∈U∩V　となるように　有向点列　(x_α)_{α∈A}　をとることができる。
0∈U , 1∈V　|R-U|≦可算,|R-V|≦可算　となる任意の　U,V　に対して、
(U,V)∈A だから　(U,V)=α_0　とすると
α_0≦α∈A　となる任意のαに対し、α=(U',V')　とすると　U⊃U'　＆　V⊃V'　となり
U∩V⊃U'∩V'∋x_α　となるから
(x_α)_{α∈A}　は　0　と　1　の両方に収束し極限は一意でない。

回答No.4

muturajcp

点列が「自然数全体の集合N上の写像」という可算点列ならば
「可算点列の極限が一意→ハウスドルフ」は成立しないが
点列が「有向集合上の写像」という有向点列ならば成立する

「位相空間　X　の　任意の有向点列が多くとも1つの極限点しか持たないならば、
X　は　ハウスドルフ　空間である」の証明

X　がハウスドルフ空間でないと仮定する
X　の　相異なる2点　a≠b　に対して
Y(a)={U |a∈U　開}=(aの近傍全体)
Y(b)={V |b∈V　開}=(bの近傍全体)
A=Y(a)×Y(b)　とする
{(U_1,V_1),(U_2,V_2)}⊂A　で　U_1⊃U_2　＆　V_1⊃V_2　のとき　(U_1,V_1)≦(U_2,V_2)
　と定義すると
(A,≦)　は有向集合となる
X　がハウスドルフ空間でない仮定から、A∋α=(U,V)　に対し、　U∩V≠φ　だから
x_α∈U∩V　となるように　有向点列　(x_α)_{α∈A}　をとることができる。
a∈U　開　b∈V　開　となる任意の　U,V　に対して、(U,V)∈A だから　(U,V)=α_0　とすると
α_0≦α∈A　となる任意のαに対し、α=(U',V')　とすると　U⊃U'　＆　V⊃V'　となり
U∩V⊃U'∩V'∋x_α　となるから　(x_α)_{α∈A}　は　a　と　b　の両方に収束する。

*(有向集合の定義)
　順序集合(A,≦)において、任意の{α,β}⊂A　に対し、
　α≦γ　＆　β≦γ　となる　γ∈A　が存在するとき、A　を有向集合という

*(有向点列の定義)
X　を集合、A　を有向集合とするとき
　x:A→X　(AからXへの写像)を　(x_α)_{α∈A}　と表して　X　の有向点列という

*(有向点列の収束と極限の定義)
　(X,D)　を位相空間、A　を有向集合
　(x_α)　を　X　の有向点列として　a∈X　とする
　a∈V∈D　となる任意の　V　に対して、　α_0∈A　が存在して
　α_0≦α∈A　となる任意の　α　に対して　x_α∈V　となるとき
　(x_α)　は　a　に収束するという。このことを
　lim x_α=a　または　lim x_α(A)=a　または　x_α→a　と書く
　またこのとき、　a　を　(x_α)　の極限という

*例)
(R,D)
空間R={実数全体}
位相D={V|V=φまたは|R-V|≦可算}　とすると
　(R,D)　はハウスドルフ　でない。
　区間I=[0,1]={r∈R|0≦r≦1}　は有向集合で
　i:I→R,i(r)=r とすると　{i_r}=I　は有向点列
x∈V⊂R　に対して　V∩I=φを仮定すると　I⊂R-V　だから
　 |I|≦|R-V|≦可算　|I|は非可算で矛盾だから　V∩I≠φ
　有向点列I はRの全ての元　x　に収束し極限は一意でない。

回答No.3

PRFRD

「点列の極限が一意 => ハウスドルフ」は成立しません．

具体的な反例は，次のようなものです．
　空間：実数全体 R
　位相：X が開 <=> X = φ または X の補集合が可算集合

これはハウスドルフでない位相空間になります．
（位相の条件，ハウスドルフの条件をチェックしてください）

この空間において，次の主張が成立します（証明後回し）．
　lim_{n→∞} x_n = x <=> ∃N, n > N => x_n = x
これは点列の収束先が一意であることを意味しており，
この空間が「点列の極限は一意だがハウスドルフでない」ことを表します．

後回しにした証明：<= は自明なので => を示します．
点列 x_n に対し，U = R - { x_n | x_n ≠ x } とおきます．
これは明らかに x を含み，補集合が加算集合なので開集合です．

lim x_n → x とすると，lim の定義からある N が存在して
n > N => x_n ∈ U，これは x_n = x を表します．//

以下補足：ステートメントを
「可算基を持ち，点列の極限が一意 => ハウスドルフ」
と修正すると，成立するようになります．
この事実を知らずに反例を探すのはそれなりに大変だと思います．

お礼

とても参考になりました。もう一問のほうにも答えていただいて、もうしわけありません。
補足内容については自分で証明することができました。
ありがとうございました。

回答No.2

鳴瀬 美幸（@naruse）

多分「ダメ」だと思います。反例はややトリッキーなものになりそうです。ハウスドルフではない空間を思いっきり考えてみてください。

回答No.1

koko_u_

先にも書いたけど、考えてから質問するんだ。