方程式

高校生がよく教わる方法が未出のようです。
面白みの無い計算ですが…

a^7+a^5+1 を a^2+a+1 で割って、

a^7+a^5+1
= (a^2+a+1)(a^5)+(-a^6+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4)+(a^5+a^4+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4+a^3)+(-a^3+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4+a^3-a)+(a^2+a+1)
= (a^2+a+1)(a^5-a^4+a^3-a+1)

a^2+a+1 = 0 だから、a^7+a^5+1 = 0。

一般に、多項式を二次式で割れば、余りは一次(以下の)式です。
余りの式に、(解公式でも使って求めた)二次式の根を代入すると、
多項式へ代入する計算が楽になります。

この問題では、たまたま割り切れてしまったので、
一次式へ代入する手間さえ無いのでした。

投稿日時 - 2008-02-09 23:29:50

解の公式でαを求めると-1/2±√3i/2となります。
これは複素数平面で表すと　角120°、240°で絶対値1
７乗すると120*7=120° 240*7=240°
５乗すると120*5=240° 240*5=120°
よって
-1/2+√3i/2-1/2-√3i/2+1=-1+1=0
-1/2-√3i/2-1/2+√3i/2+1=-1+1=0
いずれも１になります

投稿日時 - 2008-02-09 22:58:08

>二次方程式x^2+x+1=0の解の1つをαとする。この時a^7+a^5+1の値として最も妥当なのはどれか。

問題が違っていませんか。
このままでは解きようがないのでは。aは何なのですか。

>αを求めると-1±√-3/2a
この方程式を解いても、-1±√-3/2aになりません。式の中にaがないから。

投稿日時 - 2008-02-09 22:53:57