強制振動の問題

質問

今、［A］地震動の加速度が［B］１質点系に入力したときの、『質点の応答加速度の最大値』を求める問題を解いています。

この問題を解くにあたり、与えられている情報は次の通りです。
(1)［A］地震動の最大加速度
(2)［B］１質点系の質量、剛性、減衰定数
(3) 固有周期の違う５つの質点系に、［A］地震動を入力したときの、それぞれの質点系の最大加速度
(4) (3)に挙げた５つの質点系の固有周期と減衰定数

自分なりに、「地震動の固有角振動数を求められれば、応答倍率の公式から加速度入力があったときの１質点系の応答倍率を出し、それを(1)に乗ずれば、最大加速度がでるのではないか」と考え、(1)・(3)から求められる数値を応答倍率の公式に代入し、地震動の固有角振動数を出しました。
しかし、求められた地震動の固有角振動数は、５つとも数値が異なり（自分は、地震動の固有角振動数は５つとも全て同じ数値が求められると思っていたので）、分からなくなってしまいました。

この問題はどのように解いたらよいか、教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#65504 · ベストアンサー

前にも同分野の質問をしていた方ですね。
出題をみていると、今回も簡単に解けるような問題ではなく、ずいぶん複雑な問題ですね。

質問文を読んだ限りでは、与えられた条件からでは、自分で何かの条件を導入しないと解けない問題ではないかと思います。
その条件の導入の仕方を出題者はみているのかもしれません。

質問者はこれに対して、地震動に固有周期があり、その周期に対する応答で表せると考えていますね。
そこで、５つの質点の応答から共振曲線に当てはめ、固有周期を求めようとした様子です。

でも、一般地震動のようなものは固有振動数というのは存在しません。一番大きな振動数を卓越振動数などと呼んでいます。
ところで、１質点系の応答はそれぞれの周期に対応した地震動に対する応答とほぼ同じになります（周期ごとの入力に大きな差がある場合を除く）。

３）により各周期の応答加速度は与えられていますし、４）によりその固有周期と減衰定数は与えられています。

また２）の情報からＢの固有周期は求められ、その固有周期は５で与えられた５つの固有周期の間にあると推定できます（確認してみてください）

以下は自分だったらこう考えて解いてみるという方法です。
まず、
手順１．１質点系の応答値は共振により発生していると仮定する。
手順２．与条件４で与えられた１質点系の各減衰に対する共振ピークの応答倍率を求める
手順３．手順１の仮定を用いて、手順２と与条件３からそれぞれの周期の入力加速度を求める。
手順４．与条件１で与えられた地震の最大加速度は６個（Ｂおよび与条件の５つの系）の周期を持つ正弦波の合成と考える（位相は無視）
手順５．手順４の仮定を元に、手順３で求めた５つの入力値と与条件１の地震動の最大値から、Ｂの周期の入力加速度値を求める。
手順６．手順２同様、与条件２で与えられたＢの共振応答倍率を求める
手順７．手順５×手順６よりＢの応答値を求める

お礼

回答ありがとうございます。

＞２）の情報からＢの固有周期は求められ、その固有周期は５で与えられた５つの固有周期の間にあると推定できます。
その通りです。
何問か同じような問題が出されているのですが、どの問題も、固有周期が明確になっている質点系の間に固有周期を持つ１質点系の問題です。

どうやら私は根本を理解していないようです。
質問文に書きました(3)の５つの質点系には、［A］の地震動の最大加速度が入力されたものだと思っていました。
なので、応答倍率を出すにも、（質点系の最大加速度）÷（地動の最大加速度）で求めていました。

semi-zzzさんに教えていただいた方法を考えてみたのですが、少し解からないところがあるので教えていただければ幸いと思っています。

(1)（手順３）ですが、例えば、減衰定数＝0.05の共振ピークの応答倍率は「10」になりますが、この減衰定数＝0.05の質点系の最大加速度＝1000の場合、入力加速度は「100cm/s^2」・・・というような考えで良いのでしょうか。
(2)（手順５）ですが、５つの質点系の入力値と地震動の最大加速度から、どのように［B］の入力加速度を求めたら良いのでしょうか。

お手数おかけして申し訳ありません。
よろしくお願い致します。

回答No.2

noname#65504

＃１です。

＞質問文に書きました(3)の５つの質点系には、［A］の地震動の最大加速度が入力されたものだと思っていました。

地震の最大加速度は様々な周期の合成ですので、入力最大値と応答倍率から単純に応答最大値が求められるようなものではないです。

ただし、建築分野では古い時代に入力の最大値に対する応答の最大値を応答倍率と呼んでいました。
機械などでよく行う振動の共振に関する応答倍率とは意味が異なりますので、注意が必要です。

追加質問（１）はそう考えてよいと思います。

追加質問（２）ですが、公害振動の方では加速度の合成はよく行います。
加速度の合成値＝ｓｑｒｔ（Σ各周期の加速度成分＾２）
です。
つまり各周期の振幅の２乗和の平方根が各周期成分の振幅を足しあわせた波形の振幅となります。ただし、位相による影響は無視しています。
この関係から、求めることができます。

なお、前回の問題は応答スペクトルを求める問題でしたが、それと関連して出させている問題なら、応答スペクトルを利用して求めることができます。この場合は＃１で考えたような仮定不要ですので、私の書き込みは見当違いのものとなります。

お礼

どうして良いか分からず、手がつけられなくなってしまっていましたので、教えていただけて良かったです。
♯１で教えていただいたやり方で解いてみます。

二度に渡る回答、どうもありがとうございました。