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標本のサンプルサイズ
stomachmanの回答
- stomachman
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再度stomachmanです。 スジはmotsuanさんの仰る全くその通りだとstomachmanも思います。つまり、母集団の確率密度関数をf()とするとき、φ(n,g0)=多重積分 f(x1)...f(xn)δ(g(x1,x2,...,xn) - g0) dx1 ... dxn はgの値の確率密度関数である。（「gが平均のときは平面、分散のときは球面」てのは集合S={<x1,....,xn>|g(x1,x2,...,xn)=g0}のことで、これを使うと φ(n,g0)=多重積分(<x1,....,xn>∈S) f(x1)...f(xn)dx1 ... dxn と書いても良い。そういう意味ですよね。） fが既知なら、母集団から取ったn個のサンプルの分散s^2が幾らなのか、その確率密度関数φ(n,s^2)が決まりますから、累積確率P(n,a)=積分{y=0～a} φ(n,y) dyが決まる。5%の危険率なら、 P(n,a)が5%になるaの値a1(n)と95%になるaの値a2(n)を計算できる。 さて、もうひとつの母集団（確率密度関数hが既知）があって、サンプルn個は母集団fか母集団hか、どちらか一方からn個取られたものであるとする。どっちなのかを90%の精度で判定するには、幾つサンプルがあれば良いか？と、こういう風に話が進まなくちゃ。 ところが、この質問ではちょっと状況が違います。まず ●母集団の確率密度関数fについて分散以外は全く未知であるとしなくてはならないらしい。だからPは具体的に計算できず、上記の論法は使えない。分散だけ分かったってしょうがない。 ●「帰無仮説が90%の確率で 棄却されるには」という所。サンプルに関する何かの確率が計算できるためには、帰無仮説「サンプルは（ある既知の）確率密度関数h(x)を持つ母集団から取った」が必要（仮説「s＾2=σ＾2」じゃダメ）で、この質問の場合には、他に何の分布の話も出てこないのでh=fという話だと推察される。 だとすれば、この帰無仮説「サンプルは母集団fから取った」が棄却される確率とは、すなわち「母集団fから取ったサンプルを、誤ってその母集団に属さないと判断する確率」に他ならない。従って質問は『90％の確率でこの判断を間違えるにはサンプル数nを幾ら「以下」にすればよいか？』という意味になる？？？これはカナリ変 ＜ ってそれは深読みしすぎ。 ●ひょっとすると帰無仮説の概念に多少混乱を生じていらっしゃるのではないかと推測してます。（違ってたらごめんなさい。） 帰無仮説は、検定に掛けられる具体的な結論が引き出せなくては役に立たない。そして棄却されたときだけしか、意味のある結論が出ない。 たとえば H：「これらのサンプルn個は平均m、分散vの正規分布N(m,v)をなす母集団からランダムに採られた」という仮説なら、たとえば「サンプルn個の平均値」の予想される分布を具体的に計算でき、それと実際の「サンプルn個の平均値」とを比較して検定を行える。その結果「Hが正しいとすると、こんな平均値が出る確率は非常に低い。だからHはほぼ確実に間違いだ。」という結論になるか、「Hが正しいとすると、こんな平均値が出る確率は結構高い。もちろん、H以外の仮説でもこんな平均値が出る確率が結構高くなるものは幾らでもある。だから、これ以上は何も言えない」という結論になるか。 一方、仮説H：「サンプルn個はある母集団（確率密度関数h）からランダムに選ばれた。hについては未知だが、hの分散はσ^2。」を考えているとする。hが具体的に分からないから、これ以上話が進まない。Hは棄却できず、何も言えない。これは使い物にならない仮説。（回答#2でhの例を出しました。） さらに、仮説H：「s^2=σ^2」を厳密に解釈すれば、「（サンプルの分散s^2がたまたまσ^2に合うとかいう話ではなく、）s^2=σ^2になるようにサンプルを選んだ」という意味です。この仮説から言えることは「s^2=σ^2の筈だ」だけであり、実際のs^2がσ^2と違った場合の結論は「s^2=σ^2になるようにサンプルが取れていない。間違えたのは誰だ！」、実際s^2=σ^2だったら「サンプルをちゃんと選んだのか、偶然合ったのか。どちらとも言えない」。これはもう確率・統計とは無関係の話です。
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補足
先にstomachmanさんから頂いたご回答に対して、問題設定をすべて補足しておきました。質問の仕方があまりに悪かったことを重ねてお詫びします。あれだけでは統計的に意味を持たないこと、納得いたしました。 下の補足で述べた通りχ^2分布が出てくるため、混乱してしまって・・・。正規分布で考えて構わないのでしょうか？