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改 これを証明したいのですが
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「相加平均と相乗平均の関係」を既知とすればほぼ自明ですが、 厳密に証明しようとするとa,bの符号を検討するのが面倒ですね。 １．aまたはbが0のとき、与式=0を示す。 ２．a,bが異符号のとき、与式<0を示し、 １を踏まえ最大値となりえないことを示す。 ３．a,bが同符号のとき、f(a,b)=f(-a,-b)を示し、 a,bがともに正であるとしても一般性を失わないことを示す。 ４．やっと相加・相乗平均を使える。 というわけで、いっそ地味に式変形でどうですか。 ab/(a+b)^2 ＝ 4ab / (4(a+b)^2) ＝ ((a+b)^2-(a-b)^2) / (4(a+b)^2) ＝ 1/4 - (a-b)^2 / (4(a+b)^2) ＝ 1/4 - ( (a-b) / (2(a+b)) )^2 ≦ 1/4 与式が最大値を1/4をとるのは、 ( (a-b) / (2(a+b)) )^2 が最小値0をとるとき、そして、そのときのみ。 すなわち、a=bのとき、そして、そのときのみ。■ あるいは「解と係数の関係」を使う手もあります。 a,bを解とする二次方程式 x^2 - (a+b)x + ab = 0 について、実数解が存在するためには、 判別式D = (a+b)^2-4ab ≧ 0 ∴ab/(a+b)^2 ≦ 1/4 一方、ab/(a+b)^2 が 最大値 1/4 をとるとき、 判別式D = 0 よって、a=b ■ 以上ご参考まで。
その他の回答 (3)
a+b=t とおくと a(t-a)/t^2=(a/t)-(a/t)^2=-{(a/t)-(1/2)}^2+(1/4) (a/t) を変数と見た時に描く放物線が最大値を取るのは a/t=1/2、つまり、a=b の時である。
お礼
こうしてみると分かりやすいですね。ありがとうございます。
- abyss-sym
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ab/(a+b)^2=k とします。 ab/(a+b)^2=ab/(a^2+2ab+b^2)=1/(a/b+2+b/a)=k a/b=t とすると,b/a=1/t よって,k=1/(t+2+1/t) これを整理して,kt^2+(2k-1)t+k=0 このとき,判別式 D≧0 でなければならない。 (→D≧0でなければtが存在しなくなり,同時にa,bも求められない) D=(2k-1)^2-4k^2=-4k+1≧0 したがって,k≦1/4 よって,ab/(a+b)^2≦1/4 最大値は1/4 となります。
お礼
回答ありがとうございました。
- ILOVMIKI39
- ベストアンサー率22% (14/61)
相加平均相乗平均の不等式より (a+b)/2≧(ab)^(1/2) 両辺を２乗して (a+b)^2/4≧ab 両辺を(a+b)^2で除して 1/4≧ab/(a+b)^2 これにより与えられた式の最大値は1/4となる。 与えられた式が最大値になるには 1/4=ab/(a+b)^2 (a+b)^2/4=ab (a+b)^2=4ab (a+b)^2-4ab=0 (a-b)^2=0 ∴a=b
お礼
相加相乗ですか。思いつきませんでした。 回答ありがとうございました。
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お礼
そういえば相加相乗にもいろいろと条件がついていましたね。 詳しい回答ありがとうございます。