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関数の極限
「３次関数f(x)が次の２つの条件を満たすとき、f(x)を求めよ。」 [1]lim(x→０){f(x)/x}＝１ [2]lim(x→１){f(x)/x－1}＝１ ☆数(2)の微分のところなんですが、解き方が全然分からないので、なるべく詳しく教えてください。よろしくお願いします。
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[解答その１] [1]より x→０のとき分母→0より, 有限な極限値が存在するためには,このとき分子→0が必要. よって lim(x→０)f(x)＝0 [もしわかりにくければ, lim(x→０)f(x)=lim(x→０)[x・{f(x)/x}]=0*1=0 などと証明] するとf(x)は3次関数なので, f(0)=0 となり, 因数定理よりf(x)はxで割り切れる. 同様に条件[2]より lim(x→1)f(x)＝0 つまり f(1)=0 もいえて, f(x)は(x-1)でも割り切れる. 以上より, 3次関数f(x)は f(x)=x(x-1)(ax+b) [a,bは定数でa≠0] と表せて, 条件[1]より lim(x→０){f(x)/x}=lim(x→０)(x-1)(ax+b)=1 ⇔ -b=1 条件[1]より lim(x→１){f(x)/(x-1)}=lim(x→１)x(ax+b)=1 ⇔ a+b=1 この2式より, a=2, b=-1 よって f(x)＝x(x-1)(2x-1) ・・・(答) [解答その２（普通の？解答）] 最初からf(x)＝ax^3+bx^2+cx+d [a≠0]の形において解くのが一番平凡で， そうすると条件[1]より （先ほどと同じように） x→０のとき分母→0より, 有限な極限値が存在するためには, 分子→0が必要なので d=0 このとき lim(x→０)(ax^2+bx+c)＝１ より ｃ=1 条件[2]より 先ほどと同じように分子→0が必要なので このとき lim(x→１)(ax^3+bx^2+x)＝0 より a+b+1=0 b=-(a+1)より f(x)=ax^3-(a+1)x^2+x=x(ax-1)(x-1) すると条件[2]より lim(x→１)x(ax-1)=1 ⇔ a-1=1 よって a=2, b=-3 f(x)=2x^3-3x^2+x ・・・(答)
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