- ベストアンサー
２の倍数または３の倍数である数列の一般項は?
- みんなの回答 （7）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
No.6ですが、補足しておきますと オイラーの公式e^(iθ)＝cosθ＋isinθから、 sinθ＝1/(2i)×｛e^(iθ)－e^(-iθ）｝なので、 例えば、3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)において、 sin(πn/2)＝1/(2i)×｛e^(nπi/2)－e^(-nπi/2）｝ ＝1/(2i)×[｛e^(πi/2)｝^n－｛e^(-πi/2）｝^n] ＝1/(2i)×[｛cos(π/2)＋isin(π/2)｝^n－｛cos(－π/2)＋isin(－π/2)｝^n] ＝1/(2i)×｛i^n－(－i)^n｝ よって 3n/2 + 0.5 * sin(πn/2)＝3n/2 + 1/(4i)×｛i^n－(－i)^n｝ おそらく、複素数を用いた回答NO.2で求められる解と一致すると思いますよ。 回答No.2のように複素数を用いたほうが、一般解を求める際には強力です。
その他の回答 (6)
No5です。すでに求められていたようですね。失礼しました。 2，5の倍数で同じようなことを考えると、 ２，４，５，６，８，１０，１２… ですが、 5n/3＋｛（3+(-1)^n）／3√3｝sin(nπ/3) となりますかね？ もはやsinだけでは表せなくなっています。 また、奇数と奇数の組み合わせでやろうとすると、 周期が奇数個になるので、やはりsinだけではだめかなと思います。 複素数まで拡張すれば、何かうまいことがあるのかもしれませんが....
sinとか使っていいのであれば、 一般項は 1.5n＋0.5sin(nπ/2) とかけます。 期待されていない答え方かもしれませんが、シンプルでしょう。
- DONTARON
- ベストアンサー率29% (330/1104)
ＮＯ３で回答したのですが、（３）の（４ｎ－１）は（４ｎ＋１）の間違いでした。わかりくくてすみません。
- DONTARON
- ベストアンサー率29% (330/1104)
こういう場合はいくつかの場合に分けるとわかりやすいと思います。ただ昔やっていたことのうろ覚えで、正しいのかどうかはっきり自信はありません。 （１）偶数番目は必ず３の倍数となっているのでｎが偶数の場合は ３(ｎ/２) （２）奇数番目の中でさらに（４ｎ-３）番目の場合は １／２（３ｎ＋１） （３）奇数番目の中で（４ｎ－１）番目の場合は １／２（３ｎ－１） 何か変な場合分けになってしまったかもしれませんが、参考にしてください。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
0.5 の前は「+」じゃなくて「-」ですけどね. で残りの部分ですが, 以下のように無理すれば記述できます: 互いに素な a, b に対し, 最小公倍数は ab で「1～ab の中でどちらとも素であるもの」が (a-1)(b-1) 個だから, 「1～ab の中で a と b の少なくとも一方の倍数であるもの」は ab - (a-1)(b-1) = a+b-1 個あります. つまり, 求める数列を x(k), k = 1, 2, ... とおくと x(k + a+b-1) = x(k) + ab です. で, ωを 1 の原始 (a+b-1)乗根とすると Σ(k=0～a+b-2) (ω^k)^n は n が a+b-1 の倍数のときのみ a+b-1 で, そうでなければ 0 となります. ということは, まず y(k) = abk / (a+b-1) という数列を作っておいて, x(k) との差分 z(k) を ω で補正すればいいということになります. 例えば a = 2, b = 3 のときは ab = 6, a+b-1 = 4 なので y(k) = 6k/4 = 3k/2, ω = i となります. で, 補正項 z(k) は z(k) = αi^(0k) + βi^(1k) + γi^(2k) + δi^(3k) (当然ですが 0k = 0) に k = 1, 2, 3, 4 を代入して α, β, γ, δ を求めれば見付かります.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
3n/2 を考えると 1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12, ... と近くなるので, 差分 -0.5, 0, 0.5, 0, -0.5, 0, 0.5, 0, ... を補正すればいいということになります.
関連するQ&A
- 数列
連続で投稿してしまうことをお許しください 2の倍数でも3の倍数でもない自然数全体を小さい順に並べてできる数列を a_1,a_2,a_3,・・・・・,a_n,・・・とする （１）a_100をもとめる （２）1003は数列{a_n}の第何項か？ （３）mを自然数とするとき数列{a_n}の初項から第２ｍ項までの和を求めよ。 (1)a_100＝300かしら？適当にやったらうまくいった？ (2)1003-500-334-167=169 169項？（n(2)=500,n(3)=334,n(6)=167） (3)１から２ｍまでの和から２の倍数の和を引いて、3の倍数の和を引いて6の倍数の和を足す。 2の倍数や3の倍数、6の倍数のシグマの計算式が立てられない。 ｍが3ｋのとき、3k＋1のとき、3k＋2のときで場合分け？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２つの数列の共通項の和
次の問題が分かりません。解説をお願いいたします。 an=n^2である数列{an}と bn=3n-2である数列{bn}の いずれにも含まれる項を小さいものから並べた数列を{cn}とする。 Nを自然数とするとき、数列{cn}の初項から第2N項までの和を求めよ。 ご回答よろしくお願いいたします。 （cnが、3の倍数でない自然数の二乗の項であるということは分かったのですが、それをどのように式にすればいいかが分かりません。）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の一般項の求めかたがわかりません(>_<)教えて下さい！
数列の一般項の求めかたがわかりません(>_<)教えて下さい！ 数列{ａn}の初項から第ｎ項までの和がＳ=ｎ?3のｎ乗で表されるときの一般項ａnを求めよ。 途中式もよろしくお願いしますm(__)m!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3の倍数でない自然数の列
自然数の数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ,,, から 3の倍数の数列 3 6 9 12 15 18 21 ,,, を取り除くと、 3の倍数でない自然数の列 1 2 4 5 7 8 10 11 ,,, が得られますが、その一般項を求めたいのですが。 数列をa[n]とすると、 a[n] = 3+a[n-2] という漸化式が成り立つことは分かりましたが、どう解けばよいのでしょうか? 一般に、自然数の等差数列や等比数列やその他の有名数列があったとき、それら取り除いた数列の一般項はどのように求めればよいのでしょうか? そのほか、関連する話題があればいろいろ教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の一般項がうまく表現できません
数学の問題です。 次のような数列がある。 1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4,・・・・ このとき、 (1)9/16は何番目の数か。 (2)１００番目の数を求めよ。 (3)１番目から２００番目の数の和を求めよ。 うまく一般項ｎが表現できません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 第３項が４で第６項が-8√2である等比数列
第３項が４で第６項が-8√2である等比数列の一般項の求め方と初項から第１０項までの和の求め方を教えてください 答えは順に 2・(-√2)^(n-1), -62{(√2)-1}です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高2の数学で数列がわかりません
数学の問題です。 数列2/3,2/5.4/5,2/7,4/7,6/7,2/9,4/9,6/9,8/9,2/11・・・・・において （１）4/15はこの数列の第何項か。 （２）この数列の第100項の数は何か。 a1=4,an+1=3an+2^3(n=1,2,3,・・・・)で定めらた数列 ｛an｝の一般項を求めよ。 次の数列の和を求めよ。 (1)１・ｎ＋２・（ｎ－１）＋３・（ｎ－２）＋・・・・・＋ｎ・１ （２）７＋７７＋７７７＋７７７７＋・・・・・・＋７７７・・・７７ ７７７＋７７はｎ個とする 次の和を求めよ。 （１）ｎ Σ１/(2k-1)(2k+1) ｋ＝１ (2)n Σ1/k(k+1)(k+2) k=1 a1=5,an+1=2an-3n+4(n-1,2,3,・・・・・・)で定められた数列｛an｝の一般項を求めよ。 a1=1,a2=1,an+2-an+1-2an=0(n=1,2,3,・・・・・)で定められた数列｛an｝の一般項を求めよ。 数列｛an｝の初項から第ｎ項までの和Ｓｎが３Ｓｎ＝4an-3N-1(n=1,2,3,・・・・・）を満たすとき （１）初項a1を求めよ。 （２）一般項anおよび和Snを求めよ。 数列11,1001,100001,10000001,・・・・・について （１）この数列の一般項anを求めよ。 （２）この数列の項はすべて１１の倍数であることを証明せよ。 宿題ですが数列が全くわかりません。どうかお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 -0.5, 0, 0.5, 0, -0.5, 0, 0.5, 0, ... は0.5で割ると、 -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, ... となり、これは -sin(πn/2) となるので、結局、 3n/2 + 0.5 * sin(πn/2) となるのでしょうか。 一般に互いに素なaとｂにおいて、aの倍数またはbの倍数である数列の一般項は、書き表すことが可能なのでしょうか?