外分点 ベクトル u:(1-u)

質問

E,H,Pがこの順番に一直線上にあり、BからBPベクトルを表すとき

BPベクトル＝(1-u)BEベクトル＋uBHベクトル

とおけるようなのですが、驚きました。
BHベクトル＝(1-u)BEベクトル＋uBPベクトル
で、EH:HP＝u:(1-u)ならわかるのですが、
どのように考えたら外分点も表せると納得できるでしょうか。
外分点で考えても内分点で考えても一直線上にあるということはu＋(1-u)＝1で言えるかな、と思うのですが…。

証明と言うよりは感覚的にでも理解できれば、と思います。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

多分、内分の公式と外分の公式を別々に覚えていると思われます。
教科書によっては、両者を同一形式で表せる事を記述していない場合もあります。
以下に記述する様に外分の公式を覚える必要はありません。
また、そんなに難解ではないのに、文にすると難しくなってしまいますが、
図を描けば、（読む)より(眺める）ほうが余程速く判ると思います。
e,h,pはベクトルです。

＃
内分 EH:HP=3:2　p=(2e+3h)/(3+2)

EH:HP を　3:2　に　外分する場合には、一方の数を負にして、

EH:HP=3:(-2) とするならば、
p=((-2)e+3h)/(3+(-2))

EH:HP=(-3):2 とするならば、
p=(2e+(-3)h)/((-3)+2) となって同じ結果となります。

＃＃
EH:HP=m:n (m,n>0)の内分点は、
　　p=(ne+mh)/(m+n)
EH:HP= m:n' (m,n>0)の外分点は、
　　p=( (-n')e)+mh)/(m+(-n'))

＃＃＃
p=( (-n')e+mh)/(m+(-n'))　において、
(-n')=n と置き換えると
EH:HP= m:n' (m,n>0)の外分点は、
　　　EH:HP= m:(-n')=m:n に　＜分ける＞事になり、
＃の様に計算しても良いことになります。

＃＃＃＃
ということは、m,nの正負に拘らず、
(内分する)+(外分する)=(分ける)
(内分点)+(外分点)=(分点)
(内分の公式)+(外分の公式)=(分点の公式) と化けて、

(分点の公式)はひとつの形、
p=(ne+mh)/(m+n)　になり、
　ｍ＊ｎ＞０のときは内分、ｍ＊ｎ＜０の時は外分と解すれば良い事になります。

＃＃＃＃＃
ここまでが要点であり、
p=(ne+mh)/(m+n)
　=( n/(m+n) )e+( m/(m+n) )h
＜( n/(m+n) )＋( m/(m+n) )＝１＞
　=v*e+u*h < v+u =1>
=(1-u)e+ue が意味するのは、
点Ｐが直線ＥＨ上の如何なる場所にあっても良い・・・。

○留意点
ｍ＊ｎ＝０のときは、点Ｅまたは点Ｈ。
(1-u)　と　u が　異符号の時は外分点。

お礼

なんとか納得できました^^　ありがとうございました

回答No.1

noname#101087

>E,H,Pがこの順番に一直線上にあり、BからBPベクトルを表すとき
>BPベクトル＝(1-u)BEベクトル＋uBHベクトル
>とおけるようなのですが、驚きました。
>BHベクトル＝(1-u)BEベクトル＋uBPベクトル
>で、EH:HP＝u:(1-u)ならわかるのですが .....

E,H,Pが載っている直線を L としましょう。
　差ベクトル = BHベクトル - BEベクトル
を想定すれば、差ベクトルを u倍したものは E を起点とする L 上のベクトルです。
これを BEベクトルに加算した和ベクトルは、 B を起点とした L 上のベクトルになりますね。

　和ベクトル = BEベクトル + u * 差ベクトル
　　　　　　　= (1-u) * BEベクトル + u * BHベクトル

u が　0 から 1 までだったら、この和ベクトルは線分BH (内分?)に属し、
それ以外ならば線分BH を除く直線L (外分?)に属するわけです。

(略図を描きながら考えれば、一目瞭然なのですが.... )

お礼

ちょっと難しいのですが、わかりました^^　ありがとうございました