欠けた楕円の面積

質問

欠けた楕円の面積の計算の仕方を教えてください。
長半径２．０ｍ、短半径１．６ｍの楕円で、長径の軸から３０度回転させた直線から平行に０．５ｍ離れた直線で切られた楕円の面積の出し方を教えてください。
切られたどちら側の楕円の計算でも結構です。
どうか教えてください。

回答No.4

cigue · ベストアンサー

申し訳ありません、では改めて。
\frac{a}{b} = a/b
\sqrt{a} = √aと読み直してください。

X=x/2 ; Y=y/1.6とすると
楕円はX^2+Y^2=1になる。

直線は、まず30度傾いた直線は
y=\frac{x}{\sqrt{3}}
これをさらに0.5m平行移動させると、傾きはそのまま、切片は\frac{1}{\sqrt{3}}となるので
y=\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}
これをX,Yで書き直すと
1.6Y=\frac{1}{\sqrt{3}}(2X+1)
Y=\frac{1}{\sqrt{3} 1.6}(2X+1) or 1/(√3*1.6) *(2X+1)
よって、大文字のXYで書かれた座標でこの問題を書き直すと
X^2+Y^2=1をY=\frac{1}{\sqrt{3} 1.6}(2X+1)で切り出した時の面積を求めろ。

ですので、これを連立させることによりX=-0.946629 , Y=-0.322327 : X=0.604162 , Y=0.796861を得る。（数値計算に移りました）
これが円と直線の交点となる。
この二つの点と原点がなす角度はa b =ab cos thetaを使って145.972degと求まる。

よって、この二点と原点がなす三角形の面積はS=\frac{ab}{2}Sin theta=0.27979
この二点と原点がなす扇の面積は3.14 * 145.972 / 360=1.27385
この差分、0.994052が求めるべき面積となる。

ところで、これはXYを元に求めた面積である。
もともとX=x/2であるので、xに戻すには2倍、yを戻すには1.6倍すればよいので、最終的に
S=3.18097となる。

おぉ、偶然にも（違う！）数値計算された方と同じ答えになりましたね。

お礼

どうもありがとうございました。
なんとか理解することができました。
おかげさまで仕事を処理することができそうです。
本当に助かりました。

回答No.3

info22

強引に楕円のまま数式ソフトを使って積分して見ました。
斜め上下の２つの弓状部分の１つの面積S1、真ん中の2つの帯状に切り取られた２つの部分の１つの面積S2、3本の直線と楕円との交点の第一象限にあるX
座標x1,x2,x3とすると
x1=1.208325666,x2=1.621769709,x3=1.893257172
S1=2∫[-2,-x3][{(x+1)/√3}+(1.6√{1-(x/2)^2}]dx
+∫[-x3,x1][1.6√{1-(x/2)^2}-{(x+1)/√3}]dx
=3.180965739
S2=∫[-x3,-x2][{(x+1)/√3}+1.6√{1-(x/2)^2}]dx
+(1/√3)∫[-x2,x1] dx+∫[x1,x2][1.6√{1-(x/2)^2}-(x/√3)]dx
=1.845582507

検算）
楕円の面積S=2(S1+S2)=10.05309649
楕円の面積公式abπ=2*1.6π=10.05309649
S1とS2の積分結果を使っての楕円面積と
楕円公式による計算結果が一致しますのでS1とS2は合っていると思います。
#積分はMaple10を使って行いましたがMathematicaやフリーソフトのwxMaximaを使っても計算できるでしょう。

お礼

私には大変難しい計算式ですが、面積が確認できたので役立ちました。
どうもおりがとうございました。

回答No.2

cigue

説明不足、申し訳ありません。

ただ、直接レポートの答えを書くのはいけないみたいなので、あくまで参考までに。

１．楕円体の面積を求める方法を考えます。
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1　　　(長半径a cm,短半径b cm）
の面積は公式によればab pi　だそうです。
簡単のためa=1cmとします。(b<1)　　S=b pi
Y=y/b と改めて軸を取り直します。
これは何を１と呼ぶかの違いです。

すると、Ｙで書いた場合は長半径が1 , 短半径が1になります。
すると、xYで書いた場合には楕円は普通の円になります。
なので面積はpi

でも、これはxYで書いているので、本当はxyが欲しいです。
yはそもそもy=bY でYと結びついているので、Yで書いた場合の横軸をb倍すれば元に戻ります。
面積と言うのは、単純に縦＊横なので、横が2倍に増えれば面積は2倍
b倍に増えれば面積もb倍になります。

というわけで、xyで書いた場合の面積はb pi になります。

この考えを応用すれば答えに近づくと思います。
直接的ではありませんが、URLも幾分参考になると思います。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/ball/ball.htm

お礼

追加回答ありがとうございました。
やはり難しいですが、少し分かったような気がします。
これはレポートではなく、仕事に使うのですが、がんばってみます。
本当にありがとうございました。

回答No.1

cigue

計算結果までは確かめていませんが、解法まで。

まず、長径の軸をx軸、もう片方をy軸と呼びます。
ところで、新たにX軸、Y軸としてそれぞれX=x/2.0 Y=y/1.6　となる様な新しい軸を考えます。
そこでは直線は傾きが変わるので、30度ではなくなっています。

新しい軸では楕円は円に変わっています。
ここでX,Y軸で見るとこれは円を直線で切り取ったような形になります。
これは適当に扇＋三角形に分ければ解けます。

よって、X,Y軸では面積が求まりました。
ここから、X=x/2.0　などを使うと、x,yで書いたときの面積に変化させることが出来ます。

ポイント・x座標の縮尺をa倍すると図形の面積もa倍になる
注意・ぱっと書いているので、もしかしたら割るべきじゃなくて掛けるべきだったりするかもしれません。
ご確認を

お礼

早速回答頂きありがとうございました。
しかし凡人の私の頭ではよく理解できませんでした。
図形を文章で書くのは、私には難しいので質問の仕方も下手で申し訳ありません。
質問の補足をすると、回転させる直線は、ｘ軸ｙ軸の交点を中心にｘ軸（長径）から３０度回転させた直線です（時計の針は５分進んだ形）
その直線から０．５ｍ平行移動させた直線で楕円を切った形なのですが・・・
大変申し訳ないのですが、具体的な計算式も併せて教えて頂ければありがたいです。