放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか

質問

お世話になります。
この問題は有意義だと思いますので、お時間のある方は考えていただけないでしょうか?

平面上に放物線があります。また、平面上に１点があるとき、そこから放物線に何本の接線が引けるでしょうか?

これは直感的にも明らかです。たとえば、放物線をy=ax^2(a>0)、点を(p,q)とすると、
q>ap^2のとき、0本
q=ap^2のとき、1本
q<ap^2のとき、2本

では、平面上に放物線があります。また、平面上に１点があるとき、そこから放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか?

これは直感では解けなくて、多くの計算がいりそうなのです。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

放物線 y＝ax^2 上の点(t,at^2)における法線は
y－at^2＝(-1/2at)(x－t)
これが(p,q)を通るので　2a^2t^3-(2aq-1)t-p＝0 となります。
f(t)＝2a^2t^3-(2aq-1)t-p とすると
f’(t)＝6a^2t^2-(2aq-1) であるから
(ア) 2aq-1≦0 のとき
　　f’(t)≧0 より、f(t)＝0 を満たす実数ｔは１個
(イ) 2aq-1＞0 のとき
　　f’(t)＝0 の解をｔ＝±αとすると α＝√{(2aq-1)/(6a^2)}
　　f(t)＝(1/3)t×f’(t)-(2/3){(2aq-1)t+p}より
　　f(α)×f(-α)＝2{6(ap)^2-(2aq-1)^3}/(27a^2) であるから
　　（増減表をイメージして）
　(イ-1) 6(ap)^2-(2aq-1)^3＜0 のとき
　　　f(t)＝0を満たす実数ｔは３個
　(イ-2) 6(ap)^2-(2aq-1)^3＞0 のとき
　　　f(t)＝0をみたす実数ｔは１個
　(イ-3) 6(ap)^2-(2aq-1)^3＝0 のとき
　　　f(t)＝0を満たす実数ｔは２個　　となると思います。

お礼

ていねいにありがとうございます。
いろいろ検索して、図的には
http://www2m.biglobe.ne.jp/~funatsu/advanced5/fnat33evo3.htm
のように分けられると思いました。

回答No.1

Mr_Holland

接線の場合は、放物線上の接点を(t,at^2)とすると、tの２次方程式に帰着しますので、２次方程式の判別式から接線の本数の条件が求められます。

　法線の場合は、tの３次方程式に帰着しますので、３次方程式の判別式から法線の本数の条件が求められます。

　放物線と法線が交わる点を(t,at^2)としますと、この点を通る法線の方程式は次のようになります。
　　2at(y-at^2)＝-(x-t)

　ここで、この法線は点(p,q)を通るので、次の式を満足させなければなりません。
　　2at(q-at^2)＝-(p-t)

　この式を整理すると、次のｔに関する３次方程式が得られます。
　　2a^2 t^3 + (1-2aq)t -p＝０　　・・・・・☆

　この式について、３次方程式の解の判別式を求めますと、
　　Δ＝-4a^2{2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2 }
　　Δ2＝54a^2 p
となります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/3%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E6.A0.B9.E3.81.AE.E6.A7.98.E5.AD.90

　このことから、法線の本数について次のことが言えます。

１）Δ＜０　または　Δ2＝０　のとき：　法線は１本
　⇔2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2＞０　または　(p,q)＝( 0,1/(2a) )
２）Δ＝０　かつ　Δ2≠０　のとき：　法線は２本
　⇔2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2＝０　かつ　p≠０
３）Δ＞０　のとき：　法線は３本
　⇔2(1-2aq)^3 + 27a^2 p^2＜０

　また、法線が１本も引けないということがないということも分かります。

お礼

まことにありがとうございます。
ただ、判別式というのが分かりません。
Δは普通に、３つの解を用いて書くと、(α-β)^2*(β-γ)^2*(γ-α)^2の意味だと思います。
Δ2とはなんでしょうか？

Δ2 = 0 の時、三重根を持つ。そうでなければ二重根と（それとは異なる）実数解を 1 つ持つ。

と書いてあることから、|α-β|^2+|β-γ|^2+|γ-α|^2
かとも思いましたが、これはα、β、γの多項式ではないので違う気がします。