正規分布の３σ以内の確率

質問

質問させていただきます。

ふと気になって、手計算で正規分布の確率密度関数において３σまでに入る確率を求めようと思ったのですが、置換積分（の積分範囲）がうまくいきませんでした。

一般的にこのような積分は数値計算以外では不可能でしょうか。積分範囲が無限大なら積分可能なのはわかるのですが・・・。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

exp(-x^2)の形の関数の原始関数は初等関数になりません。
よって原始関数を求めてから値を出すのは無理かと思います。

　　∫exp(-x^2)dx = sqrt(π)*erf(x)/2
とすれば積分できなくもないですが、erf(x)の定義が
　　(d/dx)erf(x) = sqrt(π)/2∫[0→x]exp(-t^2)dt
ですので、具体的にあらわしたことにはなっていません。

しかし、不定積分は単にグラフの下の面積を求めているだけなので、erf(x)の値を数値積分で計算することはできます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、誤差関数erf自体が微分によって定義されているのですね。大変勉強になりました。
求める手段は、数値計算しかないということで、maximaを入れて計算してみました。
sigma=1.0として、
「romberg(sqrt(2/%pi)*%e^(-0.5*x^2),x,0,3);」
を計算したところ、0.99730020437485と出ました。
つまり、99.73%です。

しかし、不思議なことにGoogleで「正規分布 99.73」と「正規分布 99.74」と検索すると、どちらも同じぐらいヒットするので、案外３σ以内の確率は99.74%だと信じてしまっている人もいるかもしれませんね。

どうもありがとうございました。