変化の速度を微分によって求める

質問

上面の半径が10cmで深さが20cmの直円錐の容器に毎秒3立方cmの割合で水を注いでいく。水面の高さが6cmになった時の水面の上昇速度と加速度を求めよ。
体積は 1/3*10^2π*20=2000π/3
と求まったのですが、その後何を求めてよいのか分かりません。
t秒後の水面の高さを置いてみてもイマイチ計算ができず、詰まっています。
微分自体は出来ると思うのですが、求める式で詰まっています。
助言お願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

t秒後の水の体積vは
v=3t[cm^3]…(A)
ですね。
この時の水面の高さをh[cm]とすると水が溜まった部分の体積Vは
直円錐の容器の体積V
V=2000π/3[cm^3]
との相似比の3乗に比例することから
v/V=(h/20)^3
これから
v=(V/8000)h^3=(π/12)h^3[cm^3]…(B)
となりますね。
(A)と(B)が等しいことから
(π/12)h^3=3t
h^3=(36/π)t…(C)

h=6[cm]の時のt[秒]は
36*6=(36/π)tから
t=6π[秒]…(D)です。

(C)から
h={(36/π)^(1/3)}*t^(1/3)
水面上昇速度：
dh/dt=(1/3){(36/π)^(1/3)}*t^(-2/3)
(D)のtを入れて計算してください。

水面の上昇加速度：マイナスです…これは水面の上昇速度が減少していくことを表します。
d^2(h)/dt^2=-(2/9){(36/π)^(1/3)}t^(-5/3)
(D)のtを入れて計算してください。

お礼

ありがとうございます。
途中式、理解できました。

回答No.2

Mr_Holland

１週間ほど前に似たような問題がありますので、まずはこれを参照してください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3085444.html

　ここでは、その後から、速度と加速度を求める式を導いて見ます。

＞　いま、ｔ[秒]間水を注ぎいれて、水の表面が底からｘ[m]に達しているとします。
＞　このとき、溜まった水の形状と円錐型容器は相似関係になり、その相似比は　ｘ：ｈ　になっています。
＞　体積の比は、長さの比の３乗になりますので、ｘ^3：ｈ^3　です。
＞　したがって、このときの水の量について次の式が立てられます。
＞　　（水の量)：ｍｔ＝πｈｒ^2／３×(ｘ／ｈ)^3
＞　　ｘ^3＝3mt/π・(h/r)^2　　・・・・（Ａ）
　　∴ｘ＝{ 3mt/π・(h/r)^2 }^(1/3)
　　　ｔ＝x^3・π/(3m)・(r/h)^2

　式（Ａ）の両辺を微分して、速度を求めます。
　　3x^2・dx/dt＝3m/π・(h/r)^2
　∴dx/dt＝m/π・(h/r)^2／x^2　　　・・・・（Ｂ）
　　　　　＝m/π・(h/r)^2／{3mt/π・(h/r)^2}^(2/3)
　　　　　＝(t/3)^(2/3)・{m/π・(h/r)^2}^(1/3)　　　・・・・（Ｃ）

　次に、これをさらにｔで微分して加速度を求めます。
　　d^2 x/dt^2＝(2/9)(t/3)^(-1/3)・{m/π・(h/r)^2}^(1/3)
　　　　　　　＝(2/9)・3^(1/3)・{m/π・(h/r)^2}^(1/3)／ x／{ π/(3m)・(r/h)^2 }^(1/3)
　　　　　　　＝(2/9)・{3m/π・(h/r)^2}^(2/3)／ｘ　　・・・・（Ｄ）

　あとは、式（Ｂ）と式（Ｄ）に数値を入れて求めてください。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「t秒後の水面の高さ」を t の関数で表せばいいだけ. 円錐の体積は不要.