一次元のポテンシャル

質問

一次元のポテンシャルが、U=-a/x+b/2x^2で与えられています。このエネルギーが小さいときの振動の振幅を求めたいのですが、どのように求めるのでしょうか？積分するにもどうしようもなさそうですし・・・。分かる方、回答お願いします！

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

簡単な方法として、次のように求めてはいかがでしょうか。

　このポテンシャル内にある質量ｍの質点の速度がｖで全体のエネルギをＥとすると、エネルギ保存則から、
　　Ｅ＝1/2・mv^2+U＝1/2・mv^2-a/x+b/2x^2
となります。ここで、振幅の頂点ではｖ＝０となるので、そのときの変位ｘは、
　　Ｅ＝-a/x+b/2x^2　∴ｘ＝{-a±√(a^2+2bE)}/2E
を満たすことになります。
　この質点の振幅は、ｖ＝０を満たす変位ｘの間の距離の半分になりますので、振幅をＡとすると、
　　Ａ＝√(a^2+2bE)/2E
と求められます。

お礼

回答ありがとうございました！

なるほど！簡単に解けてしまっていますね（汗

あと、申し訳ないのですが、振幅が極限まで小さくなったときの周期も求めたいのですが・・・。
Uの最小値付近での微小変化を考えてみたのですが、うまくいきません・・・。
すいません、お願いします！

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　誤記がありましたので、訂正させてください。

(誤)　x=x0=b/aのとき、U(x0)=-a^2/b
(正)　x=x0=b/aのとき、U(x0)=-a^2/2b

(誤)　U(x)≒-a^2/b+a^4/(2b^3)・(x-b/a)^2
(正)　U(x)≒-a^2/2b+a^4/(2b^3)・(x-b/a)^2

　また、U(x)のテイラー展開の式から微小振動の振幅を求めなおすことができます。
　x-b/a＝Δxとおきますと、E＝U(x0)+ΔEのとき、
　　U(x0)+ΔE＝1/2・mv^2-a^2/2b+a^4/(2b^3)・(Δx)^2
となり、Δxが最大のときはv=0ですから、振幅Aは
　　ΔE＝a^4/(2b^3)・A^2
　∴A＝b/a^2・√(2bΔE)
と求められます。

　なお、ここで、求められた振幅は、＃１で求めた振幅でEを-a^2/2b+ΔEと置き換えたときの一つの近似式になっていることが分かります。（微小振動の振幅としては、A＝b/a^2・√(2bΔE)の方が妥当かな。）

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど、テイラー展開してポテンシャルの比較ですね！ありがとうございました!!!

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞あと、申し訳ないのですが、振幅が極限まで小さくなったときの周期も求めたいのですが・・・。
＞Uの最小値付近での微小変化を考えてみたのですが、うまくいきません・・・。

　考えられたとおり、Uを最小値x0付近でテイラー展開すれば、求められます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87#.E8.87.AA.E7.84.B6.E7.95.8C.E3.81.AB.E3.81.8A.E3.81.91.E3.82.8B.E5.8D.98.E6.8C.AF.E5.8B.95

　U(x)=-a/x+b/2x^2をxで微分して最小値を求めると、
　　x=x0=b/aのとき、U(x0)=-a^2/b
ですから、この点周辺でxが2次の項までテイラー展開すると、
　　U(x)≒-a^2/b+a^4/(2b^3)・(x-b/a)^2
となります。
　この式を、バネ定数ｋのバネに繋がれた質点ｍのポテンシャル・エネルギがU=U0+k/2・(Δx)^2であることと比較しますと、
　　ｋ＝a^4/b^3
となり、そのときの角速度と周期は、それぞれ
　　角速度：ω＝√(k/m)
　　周期：Ｔ＝2π/ω＝2πb√(mb)/a^2
と求められます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87#.E5.8D.98.E6.8C.AF.E5.8B.95.E3.81.AE.E9.81.8B.E5.8B.95.E6.96.B9.E7.A8.8B.E5.BC.8F