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三次方程式の解
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- info22
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他の方が言われるように3根をα、2α、βとおけば x^3-5x^2+ax+8=(x-α)(x-2α)(x-β) =(x^3)-(3α+β)(x^2)+α(2α+3β)x-2βα^2 となります。 係数を比較して 3α+β=5…A α(2α+3β)=a…B 2βα^2=-8…C 連立にしてα,βと実数aを求めれば良いです。 βα^2=-4…C' Aからβ=5-3α…A' C'に代入 (5-3α)α^2=-4 f(α)=3(α^3)-5(α^2)-4=0 f(2)=24-20-4=0 (α-2){3(α^2)+α+2}=0 α=2 , β=-1, a=2(4-3)=2 または 3(α^2)+α+2=0, D=1-24=-23<0 α=-(1/6)(1±i√23),β=(1/2)(11±i√23) a=α(2α+3β)=-(1/36)(1±i√23){-2(1±i√23)+3(11±i√23)} =-(1/36)(1±i√23)(31±i√23) 実数でないので不適 以上から答えの aと3根(α,2α,β)は分かりますね。
- Quattro99
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2次方程式の時と同じですよ。各次数の係数がそれぞれ等しくなるってことです。 x^3-5x+ax+8=0の解がα、2α、βのときx^3-5x+ax+8をx、α、βで表すとどうなるかはわかりますよね? あと、連立方程式を解くときに、αの解が一つの実数と二つの虚数になるとおもいますが、虚数解の時はaが虚数になってしまうことが示せるのでαは一つに決まるはずです。
- yuu111
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こんばんは 3次方程式の解と係数の関係は教科書に載ってますよ。 それと#1の方のヒントで3つ式が立ちますよね? あとはがんばって解いてください^^;
- Quattro99
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計算してないんで本当に出来るかどうかわかりませんが、解をα、2α、βとおいて解と係数の関係を使うと、等式が3つで文字が3つになるので解けるのでは?
補足
α,2α,βにするとできそうな感じはしたのですが、3次方程式の場合の解と係数の関係はどのように使えばいいですか?? 文字が3つになるので解き方を教えてもらえますか?
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