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三次方程式の解

x^3-5x^2+ax+8=0 の1つの解が他の一つの解の2倍のとき、実数aの値と3つの解を求める問題です。 αやβを使おうとしたのですが3次方程式なのでよくわかりません。分かる方は解説をお願いします。

みんなの回答

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.4

他の方が言われるように3根をα、2α、βとおけば x^3-5x^2+ax+8=(x-α)(x-2α)(x-β) =(x^3)-(3α+β)(x^2)+α(2α+3β)x-2βα^2 となります。 係数を比較して 3α+β=5…A α(2α+3β)=a…B 2βα^2=-8…C 連立にしてα,βと実数aを求めれば良いです。 βα^2=-4…C' Aからβ=5-3α…A' C'に代入 (5-3α)α^2=-4 f(α)=3(α^3)-5(α^2)-4=0 f(2)=24-20-4=0 (α-2){3(α^2)+α+2}=0 α=2 , β=-1, a=2(4-3)=2 または 3(α^2)+α+2=0, D=1-24=-23<0 α=-(1/6)(1±i√23),β=(1/2)(11±i√23) a=α(2α+3β)=-(1/36)(1±i√23){-2(1±i√23)+3(11±i√23)} =-(1/36)(1±i√23)(31±i√23) 実数でないので不適 以上から答えの aと3根(α,2α,β)は分かりますね。

  • Quattro99
  • ベストアンサー率32% (1034/3212)
回答No.3

2次方程式の時と同じですよ。各次数の係数がそれぞれ等しくなるってことです。 x^3-5x+ax+8=0の解がα、2α、βのときx^3-5x+ax+8をx、α、βで表すとどうなるかはわかりますよね? あと、連立方程式を解くときに、αの解が一つの実数と二つの虚数になるとおもいますが、虚数解の時はaが虚数になってしまうことが示せるのでαは一つに決まるはずです。

  • yuu111
  • ベストアンサー率20% (234/1134)
回答No.2

こんばんは 3次方程式の解と係数の関係は教科書に載ってますよ。 それと#1の方のヒントで3つ式が立ちますよね? あとはがんばって解いてください^^;

fgeerg
質問者

補足

2次方程式の解と係数の関係しか載ってないので聞いたのですが…。 どの教科書かわかりますか?

  • Quattro99
  • ベストアンサー率32% (1034/3212)
回答No.1

計算してないんで本当に出来るかどうかわかりませんが、解をα、2α、βとおいて解と係数の関係を使うと、等式が3つで文字が3つになるので解けるのでは?

fgeerg
質問者

補足

α,2α,βにするとできそうな感じはしたのですが、3次方程式の場合の解と係数の関係はどのように使えばいいですか?? 文字が3つになるので解き方を教えてもらえますか?

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