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(A) Bernoulli polynomial: Bn(x) = nC0 B0(0)x^n+ nC1 B1(0)x^(n-1)+...+ nCn Bn(0) （ nCm = n!/(m! (n-m)!) ） ここに、母関数は t exp[xt]/(exp[t]-1) = ΣBn(x) (t^n)/n! (Σfor n=0,1,....) (B) Bernoulli number : Bn = |Bn(0)| 定理 (1) B0(0)=1, B1(0)=-1/2, B2(0)=1/6, ... (2) B[2n+1](0) = 0 (n≧1) (3) Bn(x+1)-Bn(x) = n x^(n-1) (4) dBn(x)/dx = n B[n-1](x) (5) 関数方程式 f(x+1)-f(x) = Σan x^n (Σfor n=0,1,...,k) の解は f(x) = Σ(an/(n+1)) B[n+1](x) + C (Σfor n=0,1,...,k) (6) Σm^n = (B[n+1](k+1)-B[n+1](1))/(n+1) (Σfor m=0,1,...,k) Pf: 母関数より自明。
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